Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2021

Una onda armónica transversal de 6 milímetros de amplitud, 0,025 metros de longitud de onda y 50 milisegundos de periodo, se propaga hacia la parte positiva del eje $x$. Inicialmente, en el punto $x = 0$, la elongación es nula y la velocidad transversal positiva.

a) Escriba la ecuación de onda. [1 punto]

b) Calcule la velocidad de propagación de la onda. [0,5 puntos]

c) Calcule la diferencia de fase entre dos puntos separados 1 centímetro. [0,5 puntos]

d) Determine la velocidad transversal del punto de la onda situado en $x = 2$ centímetros, en función del tiempo. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Escriba la ecuación de onda. [1 punto]}$



Se pasan primero los datos a unidades del Sistema Internacional:

$A=6\ \text{mm}=6\cdot10^{-3}\ \text{m}\qquad \lambda=0{,}025\ \text{m}\qquad T=50\ \text{ms}=0{,}05\ \text{s}$

Y se calculan la frecuencia angular y el número de onda:

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{0{,}05}=40\pi\ \text{rad/s}=125{,}7\ \text{rad/s}$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{0{,}025}=80\pi\ \text{rad/m}=251{,}3\ \text{rad/m}$

Como la onda se propaga hacia la parte positiva del eje $x$, los términos en $t$ y en $x$ llevan signos opuestos:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}(\omega t-k\,x+\varphi_0)$

La primera condición inicial dice que la elongación en $x=0$ es nula:

$y(0,0)=A\operatorname{sen}\varphi_0=0\Rightarrow \varphi_0=0\ \text{ó}\ \varphi_0=\pi$

Y la segunda, que la velocidad transversal es positiva, decide entre las dos:

$v_y(0,0)=A\,\omega\cos\varphi_0>0\Rightarrow \cos\varphi_0>0\Rightarrow \varphi_0=0\ \text{rad}$

La ecuación de onda, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t)=6\cdot10^{-3}\operatorname{sen}\left(40\pi\,t-80\pi\,x\right)\ \text{m}$

$\textbf{b) Calcule la velocidad de propagación de la onda. [0,5 puntos]}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la longitud de onda y el periodo:

$v=\dfrac{\lambda}{T}=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{0{,}025}{0{,}05}$

$v=0{,}5\ \text{m/s}$

$\textbf{c) Calcule la diferencia de fase entre dos puntos separados 1 centímetro. [0,5 puntos]}$

Dos puntos separados una distancia $\Delta x$ en un mismo instante tienen una diferencia de fase:

$\Delta\varphi=k\,\Delta x=80\pi\cdot0{,}01$

$\Delta\varphi=0{,}8\pi=2{,}51\ \text{rad}$

Un centímetro no es un múltiplo entero de la longitud de onda, de 2,5 cm, así que los dos puntos no oscilan en fase.

$\textbf{d) Determine la velocidad transversal del punto de la onda situado en } \boldsymbol{x = 2}\textbf{ centímetros, en función del tiempo. [0,5 puntos]}$

La velocidad transversal es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y(x,t)=\dfrac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\cos(\omega t-k\,x)$

$A\,\omega=6\cdot10^{-3}\cdot40\pi=0{,}754\ \text{m/s}$

Se sustituye la posición del punto, $x=2\ \text{cm}=0{,}02\ \text{m}$:

$80\pi\cdot0{,}02=1{,}6\pi$

$v_y(0{,}02\ ;\ t)=0{,}754\cos\left(40\pi\,t-1{,}6\pi\right)\ \text{m/s}$