Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2022

Se dispone de una muestra de 200 g de $^{60}\text{Co}$, cuyo periodo de semidesintegración es de 5,27 años y su masa atómica es 60 u. Este radioisótopo se utiliza como fuente de rayos gamma en tratamientos de radioterapia.

a) Calcule la constante de desintegración y la actividad inicial de la muestra. [1,25 puntos]

b) Si la muestra debe ser reemplazada cuando la actividad haya descendido a la mitad de la actividad inicial, ¿cuál es la vida útil de una muestra destinada a este uso médico? [1,25 puntos]

Dato: número de Avogadro, $N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$.

$\textbf{a) Calcule la constante de desintegración y la actividad inicial de la muestra. [1,25 puntos]}$










La constante de desintegración se obtiene del periodo de semidesintegración:

$\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$

y la actividad es el producto de esa constante por el número de núcleos presentes.





$\lambda=\dfrac{\ln 2}{5{,}27}=0{,}132\ \text{años}^{-1}$

Para la actividad hace falta la constante en unidades del Sistema Internacional:

$\lambda=\dfrac{0{,}1315}{365\cdot24\cdot3600}=4{,}17\cdot10^{-9}\ \text{s}^{-1}$

El número inicial de núcleos se obtiene de la masa y de la masa atómica:

$N_0=\dfrac{m_0}{M}\,N_A=\dfrac{200}{60}\cdot6{,}02\cdot10^{23}$

$N_0=2{,}01\cdot10^{24}\ \text{núcleos}$

$A_0=\lambda\,N_0=4{,}171\cdot10^{-9}\cdot2{,}007\cdot10^{24}$

$A_0=8{,}37\cdot10^{15}\ \text{Bq}$

$\textbf{b) Si la muestra debe ser reemplazada cuando la actividad haya descendido a la mitad de la actividad inicial, ¿cuál es la vida útil de una muestra destinada a este uso médico? [1,25 puntos]}$

Se impone la condición del enunciado sobre la ley de desintegración:

$\dfrac{A_0}{2}=A_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln\dfrac12=-\lambda t$

$t=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$

Pero esa expresión es exactamente la definición del periodo de semidesintegración, así que no hace falta ningún cálculo más:

$t=T_{1/2}=5{,}27\ \text{años}$

La vida útil de la fuente de cobalto-60 es de $5{,}27$ años. El resultado tiene sentido: como la actividad es proporcional al número de núcleos, que caiga a la mitad la actividad es lo mismo que se desintegre la mitad de los núcleos.