Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cantabria · 2022

Al iluminar un metal con luz de longitud de onda en el vacío $\lambda = 680\ \text{nm}$, se observa que emite electrones con una energía cinética máxima de 0,9 eV. Se cambia la longitud de onda de la luz incidente y se mide de nuevo la energía cinética máxima, obteniéndose un valor de 1,80 eV. Calcule:

a) La frecuencia de la luz en la segunda medida. [1,5 puntos]

b) La frecuencia umbral del metal. [1 punto]

Datos: $1\ \text{eV} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{J}$; constante de Planck, $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}/\text{s}$.

$\textbf{a) La frecuencia de la luz en la segunda medida. [1,5 puntos]}$










La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico reparte la energía del fotón entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón:

$h\,f=W_0+E_{c,\max}$

El trabajo de extracción es el mismo en las dos medidas, porque es una propiedad del metal.





Con la primera medida se obtiene el trabajo de extracción. La energía del fotón es:

$E_1=h\dfrac{c}{\lambda_1}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{680\cdot10^{-9}}=2{,}93\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Conviene pasarla a electronvoltios, porque las energías cinéticas vienen en esa unidad:

$E_1=\dfrac{2{,}925\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=1{,}83\ \text{eV}$

$W_0=E_1-E_{c,\max}=1{,}828-0{,}9=0{,}928\ \text{eV}$

Ahora se aplica la ecuación de Einstein a la segunda medida:

$E_2=W_0+E_{c,\max}'=0{,}928+1{,}80=2{,}73\ \text{eV}$

$E_2=2{,}728\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=4{,}37\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$f_2=\dfrac{E_2}{h}=\dfrac{4{,}365\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}}$

$f_2=6{,}58\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

$\textbf{b) La frecuencia umbral del metal. [1 punto]}$

La frecuencia umbral es la del fotón cuya energía es justo el trabajo de extracción: con ella el electrón sale con energía cinética nula.

$W_0=h\,f_0\Rightarrow f_0=\dfrac{W_0}{h}$

Se expresa el trabajo de extracción en julios:

$W_0=0{,}928\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=1{,}485\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$f_0=\dfrac{1{,}485\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}}$

$f_0=2{,}24\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

Por debajo de esa frecuencia no hay emisión de electrones por muy intensa que sea la luz, que es precisamente lo que la física clásica no lograba explicar.