Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Cantabria · 2022

Un electrón es acelerado mediante una diferencia de potencial $\Delta V$, y posteriormente se introduce en una región donde hay un campo magnético de 0,5 mT, perpendicular al vector velocidad del electrón. La órbita del electrón cuando entra en la región de campo magnético es de 5 cm. Halle:

a) El valor de la diferencia de potencial $\Delta V$ utilizada para acelerar el electrón. [1,5 puntos]

b) La frecuencia de giro del electrón en dicha órbita. [1 punto]

Datos: carga del electrón, $q_e = -1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$; masa del electrón, $m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) El valor de la diferencia de potencial } \boldsymbol{\Delta V}\textbf{ utilizada para acelerar el electrón. [1,5 puntos]}$










Dentro del campo magnético la fuerza de Lorentz es perpendicular a la velocidad y hace de fuerza centrípeta:

$|q|\,v\,B=\dfrac{m_e\,v^2}{r}\Rightarrow v=\dfrac{|q|\,B\,r}{m_e}$





Se sustituyen los datos, con el campo y el radio en unidades del Sistema Internacional:

$B=0{,}5\ \text{mT}=5\cdot10^{-4}\ \text{T}\qquad r=5\ \text{cm}=0{,}05\ \text{m}$

$v=\dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^{-4}\cdot0{,}05}{9{,}1\cdot10^{-31}}=4{,}40\cdot10^{6}\ \text{m/s}$

Esa velocidad es la que adquirió el electrón al ser acelerado. En esa primera etapa todo el trabajo eléctrico se transformó en energía cinética:

$|q|\,\Delta V=\dfrac12\,m_e\,v^2\Rightarrow \Delta V=\dfrac{m_e\,v^2}{2\,|q|}$

$\Delta V=\dfrac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(4{,}396\cdot10^{6})^2}{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}}$

$\Delta V=54{,}9\ \text{V}$

$\textbf{b) La frecuencia de giro del electrón en dicha órbita. [1 punto]}$

En el movimiento circular uniforme la frecuencia es:

$f=\dfrac{v}{2\pi r}=\dfrac{4{,}396\cdot10^{6}}{2\pi\cdot0{,}05}$

$f=1{,}40\cdot10^{7}\ \text{Hz}$

Sustituyendo la velocidad por su expresión se obtiene la llamada frecuencia de ciclotrón:

$f=\dfrac{|q|\,B}{2\pi\,m_e}$

que no depende ni de la velocidad del electrón ni del radio de su órbita, sino solo del campo y de las propiedades de la partícula. Es la propiedad en la que se basa el funcionamiento del ciclotrón.