Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cantabria · 2022

Dos cargas eléctricas puntuales de valor $Q_1 = 2\ \mu\text{C}$ y $Q_2 = -4\ \mu\text{C}$, se encuentran situadas en el plano XY, en los puntos $(0,5)$ y $(0,-5)$ respectivamente. Todas las distancias se dan en metros.

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo eléctrico en el punto $(5,0)$. [1,5 puntos]

b) Calcule el potencial eléctrico debido a las dos cargas en el punto $(5,0)$. [0,5 puntos]

c) Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre una carga de $1\ \mu\text{C}$ cuando se desplaza desde un punto infinitamente alejado de $Q_1$ y $Q_2$ hasta el punto $(5,0)$. [0,5 puntos]

Dato: constante de Coulomb, $k = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule y represente gráficamente el vector campo eléctrico en el punto } \boldsymbol{(5,0)}\textbf{. [1,5 puntos]}$










El campo creado por una carga puntual vale $E=K\dfrac{|q|}{r^2}$; se aleja de la carga si es positiva y apunta hacia ella si es negativa.

Las dos cargas están a la misma distancia del punto, que es el vértice de dos triángulos rectángulos iguales.





La distancia de cada carga al punto se obtiene por Pitágoras:

$r=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=7{,}07\ \text{m}\Rightarrow r^2=50\ \text{m}^2$

Los vectores unitarios forman $45^\circ$ con los ejes, de modo que sus componentes valen $\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Campo creado por $Q_1=2\ \mu\text{C}$, que es positiva y por tanto se aleja de ella, hacia abajo y a la derecha:

$E_1=K\dfrac{|Q_1|}{r^2}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-6}}{50}=360\ \text{N/C}$

$\vec E_1=360\left(\dfrac{\sqrt2}{2},-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=(254{,}6\ ;\ -254{,}6)\ \text{N/C}$

Campo creado por $Q_2=-4\ \mu\text{C}$, que es negativa y por tanto apunta hacia ella, hacia abajo y a la izquierda:

$E_2=K\dfrac{|Q_2|}{r^2}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{4\cdot10^{-6}}{50}=720\ \text{N/C}$

$\vec E_2=720\left(-\dfrac{\sqrt2}{2},-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=(-509{,}1\ ;\ -509{,}1)\ \text{N/C}$

Por el principio de superposición:

$\vec E=\vec E_1+\vec E_2=\left(-254{,}6\,\vec\imath-763{,}7\,\vec\jmath\right)\ \text{N/C}$

$E=\sqrt{254{,}6^2+763{,}7^2}=805\ \text{N/C}$

$\textbf{b) Calcule el potencial eléctrico debido a las dos cargas en el punto } \boldsymbol{(5,0)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

El potencial es escalar y las dos cargas están a la misma distancia, así que basta sumar sus valores con el signo:

$V=K\dfrac{Q_1+Q_2}{r}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-6}-4\cdot10^{-6}}{7{,}071}$

$V=-2{,}55\cdot10^{3}\ \text{V}$

$\textbf{c) Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre una carga de } \boldsymbol{1\ \mu\text{C}}\textbf{ cuando se desplaza desde un punto infinitamente alejado de } \boldsymbol{Q_1}\textbf{ y } \boldsymbol{Q_2}\textbf{ hasta el punto } \boldsymbol{(5,0)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

El campo eléctrico es conservativo y el potencial en el infinito es nulo:

$W=q\left(V_\infty-V\right)=10^{-6}\left(0-(-2545{,}6)\right)$

$W=2{,}55\cdot10^{-3}\ \text{J}$

El trabajo es positivo, luego el desplazamiento es espontáneo: la carga positiva es atraída hacia una región de potencial negativo, la que domina la carga de $-4\ \mu\text{C}$.