Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Un cuerpo de masa $4\cdot 10^{8}\ \text{kg}$ se encuentra fijado en el punto $(-200,0)$ de un cierto sistema de referencia. Otro cuerpo de masa $2\cdot 10^{8}\ \text{kg}$ se encuentra fijado en el punto $(50,0)$. Todas las distancias se dan en metros.

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio debido a los dos cuerpos en el punto $(0,0)$. [1 punto]

b) Calcule el potencial gravitatorio debido a los dos cuerpos en los puntos $(0,0)$ y $(0,-100)$. [1 punto]

c) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una masa de 1000 kg cuando se desplaza desde el punto $(0,0)$ hasta el punto $(0,-100)$. [0,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio debido a los dos cuerpos en el punto } \boldsymbol{(0,0)}\textbf{. [1 punto]}$



El campo gravitatorio creado por una masa puntual se dirige siempre hacia ella:

$\vec g=-G\dfrac{M}{r^2}\,\vec u_r$

Campo creado por la masa de $4\cdot10^{8}\ \text{kg}$, que está a 200 m del origen y a su izquierda, de modo que su campo apunta hacia $-\vec\imath$:

$g_1=G\dfrac{M_1}{r_1^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{4\cdot10^{8}}{200^2}=6{,}67\cdot10^{-7}\ \text{N/kg}$

Campo creado por la masa de $2\cdot10^{8}\ \text{kg}$, que está a 50 m del origen y a su derecha, con el campo hacia $+\vec\imath$:

$g_2=G\dfrac{M_2}{r_2^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{2\cdot10^{8}}{50^2}=5{,}34\cdot10^{-6}\ \text{N/kg}$

Por el principio de superposición, y siendo los dos campos opuestos:

$\vec g=\left(-0{,}667+5{,}336\right)\cdot10^{-6}\,\vec\imath$

$\vec g=4{,}67\cdot10^{-6}\,\vec\imath\ \text{N/kg}$

Aunque la primera masa es el doble de grande, la segunda está cuatro veces más cerca, y como la distancia entra al cuadrado su campo resulta ocho veces mayor: la resultante apunta hacia ella.

$\textbf{b) Calcule el potencial gravitatorio debido a los dos cuerpos en los puntos } \boldsymbol{(0,0)}\textbf{ y } \boldsymbol{(0,-100)}\textbf{. [1 punto]}$

El potencial es una magnitud escalar y se suman los de las dos masas:

$V=-G\left(\dfrac{M_1}{r_1}+\dfrac{M_2}{r_2}\right)$

En el origen las distancias son 200 m y 50 m:

$V(0,0)=-6{,}67\cdot10^{-11}\left(\dfrac{4\cdot10^{8}}{200}+\dfrac{2\cdot10^{8}}{50}\right)=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{6}$

$V(0,0)=-4{,}00\cdot10^{-4}\ \text{J/kg}$

En el punto $(0,-100)$ hay que calcular las distancias con el teorema de Pitágoras:

$r_1'=\sqrt{200^2+100^2}=224\ \text{m}\qquad r_2'=\sqrt{50^2+100^2}=112\ \text{m}$

$V(0,-100)=-6{,}67\cdot10^{-11}\left(\dfrac{4\cdot10^{8}}{223{,}6}+\dfrac{2\cdot10^{8}}{111{,}8}\right)$

$V(0,-100)=-2{,}39\cdot10^{-4}\ \text{J/kg}$

$\textbf{c) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una masa de 1000 kg cuando se desplaza desde el punto } \boldsymbol{(0,0)}\textbf{ hasta el punto } \boldsymbol{(0,-100)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Como el campo gravitatorio es conservativo, el trabajo se obtiene de la diferencia de potenciales:

$W=m\left(V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}}\right)=1000\left(-4{,}002\cdot10^{-4}+2{,}386\cdot10^{-4}\right)$

$W=-0{,}162\ \text{J}$

El trabajo es negativo porque el punto de llegada está más lejos de las dos masas y su potencial es mayor (menos negativo): el desplazamiento va en contra del campo y hay que aportar esa energía desde fuera.