Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2022

En una cuerda se propaga una onda armónica cuya ecuación, expresada en unidades del S.I., viene dada por la ecuación

$y(x,t) = 0{,}2\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\,t + \dfrac{\pi}{3}\,x + \dfrac{\pi}{4}\right)$

a) Halle la amplitud, el periodo, la frecuencia y la longitud de onda. [1 punto]

b) Calcule la velocidad de propagación de la onda, especificando dirección y sentido de propagación. [0,5 puntos]

c) Determine la velocidad transversal del punto de la cuerda situado en $x = 3\ \text{m}$, en función del tiempo. [1 punto]

$\textbf{a) Halle la amplitud, el periodo, la frecuencia y la longitud de onda. [1 punto]}$



Se compara la ecuación del enunciado con la expresión general de una onda armónica:

$y(x,t)=A\cos(\omega t\pm k\,x+\varphi_0)$

Identificando término a término:

$A=0{,}2\ \text{m}$

$\omega=\dfrac{\pi}{6}\ \text{rad/s}\Rightarrow T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{\pi/6}=12\ \text{s}$

$f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{12}=0{,}083\ \text{Hz}$

$k=\dfrac{\pi}{3}\ \text{rad/m}\Rightarrow \lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{\pi/3}=6\ \text{m}$

La onda tiene $0{,}2\ \text{m}$ de amplitud, un periodo de $12\ \text{s}$ y una longitud de onda de $6\ \text{m}$.

$\textbf{b) Calcule la velocidad de propagación de la onda, especificando dirección y sentido de propagación. [0,5 puntos]}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

$v=\dfrac{\omega}{k}=\lambda f=\dfrac{\pi/6}{\pi/3}$

$v=0{,}5\ \text{m/s}$

Los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo, de modo que la onda se propaga en la dirección del eje $X$ y en su sentido negativo: para mantener constante la fase, si $t$ aumenta, $x$ debe disminuir.

$\vec v=-0{,}5\,\vec\imath\ \text{m/s}$

$\textbf{c) Determine la velocidad transversal del punto de la cuerda situado en } \boldsymbol{x = 3\ \text{m}}\textbf{, en función del tiempo. [1 punto]}$

La velocidad transversal es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y(x,t)=\dfrac{\partial y}{\partial t}=-A\,\omega\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{6}t+\dfrac{\pi}{3}x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

$A\,\omega=0{,}2\cdot\dfrac{\pi}{6}=0{,}105\ \text{m/s}$

Se sustituye la posición del punto pedido:

$\dfrac{\pi}{3}\cdot3+\dfrac{\pi}{4}=\pi+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}$

$v_y(3\ ;\ t)=-0{,}105\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{6}t+\dfrac{5\pi}{4}\right)\ \text{m/s}$

Ese punto oscila con una velocidad transversal máxima de $0{,}105\ \text{m/s}$.