Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2022

Se dispone de una muestra de 50 mg de $^{241}\text{Am}$ cuyo periodo de semidesintegración es de 432 años y su masa atómica es 241 u. Calcule:

a) El tiempo necesario para que la muestra se reduzca a 10 mg. [1,25 puntos]

b) Los valores de la actividad inicial y final. [1,25 puntos]

Dato: número de Avogadro, $N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$.

$\textbf{a) El tiempo necesario para que la muestra se reduzca a 10 mg. [1,25 puntos]}$










La masa de isótopo radiactivo sigue la misma ley exponencial que el número de núcleos, porque es proporcional a él:

$m=m_0\,e^{-\lambda t}$

y la constante de desintegración se obtiene del periodo de semidesintegración.





$\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=\dfrac{\ln 2}{432}=1{,}60\cdot10^{-3}\ \text{años}^{-1}$

Se impone que quede la quinta parte de la masa inicial y se toman logaritmos neperianos:

$10=50\,e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln\dfrac15=-\lambda t$

$t=\dfrac{\ln 5}{\lambda}=\dfrac{1{,}609}{1{,}605\cdot10^{-3}}$

$t=1{,}00\cdot10^{3}\ \text{años}$

Hacen falta unos $1003$ años, algo más de dos periodos de semidesintegración, como cabía esperar de una reducción a la quinta parte.

$\textbf{b) Los valores de la actividad inicial y final. [1,25 puntos]}$

La actividad es el número de desintegraciones por segundo, así que hace falta el número de núcleos y la constante en $\text{s}^{-1}$.

Se calcula el número inicial de núcleos a partir de la masa y de la masa atómica:

$N_0=\dfrac{m_0}{M}\,N_A=\dfrac{0{,}050}{241}\cdot6{,}02\cdot10^{23}$

$N_0=1{,}25\cdot10^{20}\ \text{núcleos}$

Se expresa la constante de desintegración en unidades del Sistema Internacional:

$\lambda=\dfrac{1{,}605\cdot10^{-3}}{365\cdot24\cdot3600}=5{,}09\cdot10^{-11}\ \text{s}^{-1}$

$A_0=\lambda\,N_0=5{,}088\cdot10^{-11}\cdot1{,}249\cdot10^{20}$

$A_0=6{,}35\cdot10^{9}\ \text{Bq}$

La actividad es proporcional al número de núcleos y, por tanto, a la masa. Al quedar la quinta parte de la masa, la actividad se reduce en la misma proporción:

$A=0{,}2\,A_0=0{,}2\cdot6{,}355\cdot10^{9}$

$A=1{,}27\cdot10^{9}\ \text{Bq}$