Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cantabria · 2022

Al iluminar un metal en un experimento con luz monocromática de longitud de onda en el vacío $\lambda = 649\ \text{nm}$, se emiten electrones con una energía cinética máxima de 0,85 eV. Al iluminar nuevamente el metal con luz monocromática, pero de diferente longitud de onda, se emiten electrones con una energía cinética máxima de 1,89 eV. Calcule:

a) El trabajo de extracción del metal y el rango de frecuencias en que se produce efecto fotoeléctrico. [1,5 puntos]

b) La longitud de onda de la luz utilizada y el potencial de frenado en la segunda medida. [1 punto]

Datos: $1\ \text{eV} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{J}$; constante de Planck, $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}/\text{s}$.

$\textbf{a) El trabajo de extracción del metal y el rango de frecuencias en que se produce efecto fotoeléctrico. [1,5 puntos]}$



La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico reparte la energía del fotón entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón:

$h\,f=W_0+E_{c,\max}$

Se calcula la energía del fotón de la primera medida:

$E_1=h\dfrac{c}{\lambda_1}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{649\cdot10^{-9}}=3{,}06\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Conviene pasarla a electronvoltios, porque las energías cinéticas vienen en esa unidad:

$E_1=\dfrac{3{,}065\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=1{,}92\ \text{eV}$

$W_0=E_1-E_{c,\max}=1{,}915-0{,}85$

$W_0=1{,}07\ \text{eV}=1{,}70\cdot10^{-19}\ \text{J}$

La frecuencia umbral es la del fotón cuya energía es justo el trabajo de extracción:

$f_0=\dfrac{W_0}{h}=\dfrac{1{,}705\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}}=2{,}57\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

Hay efecto fotoeléctrico siempre que la frecuencia supere ese valor:

$f>2{,}57\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

$\textbf{b) La longitud de onda de la luz utilizada y el potencial de frenado en la segunda medida. [1 punto]}$

El trabajo de extracción es una propiedad del metal y no cambia al cambiar la luz, así que basta volver a aplicar la ecuación de Einstein:

$E_2=W_0+E_{c,\max}'=1{,}065+1{,}89=2{,}96\ \text{eV}$

$E_2=2{,}955\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=4{,}73\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$\lambda_2=\dfrac{h\,c}{E_2}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{4{,}729\cdot10^{-19}}$

$\lambda_2=4{,}21\cdot10^{-7}\ \text{m}=421\ \text{nm}$

El potencial de frenado es el que detiene a los electrones más rápidos:

$|q_e|\,V_0=E_{c,\max}'\Rightarrow V_0=\dfrac{1{,}89\ \text{eV}}{1\ \text{e}}$

$V_0=1{,}89\ \text{V}$

Cuando la energía cinética se expresa en electronvoltios, el potencial de frenado coincide numéricamente con ella, que es lo cómodo de esa unidad.