Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Cantabria · 2022

Por un hilo conductor rectilíneo indefinido, situado a lo largo del eje $y$, circula una corriente de 5 A, en el sentido positivo del eje $y$.

a) Calcule el campo magnético creado por el hilo en el punto $P$ de coordenadas $(1,0,0)\ \text{cm}$. [1,25 puntos]

b) Calcule la fuerza magnética que experimenta un protón cuando pasa por el punto $P$, con velocidad $v = 10^{4}\ \text{m}/\text{s}$ en sentido negativo del eje $x$. [1,25 puntos]

Datos: permeabilidad magnética del vacío, $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m}\cdot\text{A}^{-1}$; carga del protón, $q_p = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Calcule el campo magnético creado por el hilo en el punto } \boldsymbol{P}\textbf{ de coordenadas } \boldsymbol{(1,0,0)\ \text{cm}}\textbf{. [1,25 puntos]}$










El módulo del campo creado por un conductor rectilíneo indefinido a una distancia $r$ lo da la ley de Biot y Savart:

$B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$

y su sentido, la regla de la mano derecha.





El punto $P$ está sobre el eje $X$, a 1 cm del hilo:

$r=1\ \text{cm}=10^{-2}\ \text{m}$

$B=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot5}{2\pi\cdot10^{-2}}=1\cdot10^{-4}\ \text{T}$

Para el sentido se aplica la regla de la mano derecha: con el pulgar en el sentido de la corriente, que va hacia $+\vec\jmath$, los dedos se cierran alrededor del hilo, y en el semieje $X$ positivo el campo entra en el papel. Formalmente:

$\vec B\propto \vec\jmath\times\vec\imath=-\vec k$

$\vec B=-10^{-4}\,\vec k\ \text{T}$

$\textbf{b) Calcule la fuerza magnética que experimenta un protón cuando pasa por el punto } \boldsymbol{P}\textbf{, con velocidad } \boldsymbol{v = 10^{4}\ \text{m}/\text{s}}\textbf{ en sentido negativo del eje } \boldsymbol{x}\textbf{. [1,25 puntos]}$

La fuerza sobre una carga en movimiento dentro de un campo magnético es la fuerza de Lorentz:

$\vec F=q\left(\vec v\times\vec B\right)$

Con la velocidad del enunciado y el campo del apartado anterior:

$\vec v=-10^{4}\,\vec\imath\ \text{m/s}\qquad \vec B=-10^{-4}\,\vec k\ \text{T}$

Se calcula el producto vectorial, recordando que $\vec\imath\times\vec k=-\vec\jmath$:

$\vec v\times\vec B=\left(-10^{4}\right)\left(-10^{-4}\right)\left(\vec\imath\times\vec k\right)=1\cdot\left(-\vec\jmath\right)$

$\vec F=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot\left(-\vec\jmath\right)$

$\vec F=-1{,}6\cdot10^{-19}\,\vec\jmath\ \text{N}$

La fuerza tiene módulo $1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{N}$ y va en el sentido negativo del eje $Y$, es decir, es antiparalela a la corriente y, como siempre, perpendicular a la velocidad del protón.