Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Una sonda espacial de 2500 kg de masa, se encuentra en órbita circular alrededor de Venus, realizando una revolución cada 30 horas.

a) Calcule la velocidad orbital de la sonda y la altura de la órbita respecto a la superficie del planeta. [1 punto]

b) Calcule la energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía total de la sonda. [1 punto]

c) Calcule la energía mínima que habría que suministrar a la sonda para que abandone el campo gravitatorio de Venus. [0,5 puntos]

Datos: masa de Venus, $M_V = 4{,}869\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; radio de Venus, $R_V = 6052\ \text{km}$; constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule la velocidad orbital de la sonda y la altura de la órbita respecto a la superficie del planeta. [1 punto]}$










La atracción gravitatoria de Venus es la fuerza centrípeta de la órbita circular. Aplicando la segunda ley de Newton y escribiendo la velocidad en función del periodo se llega a la tercera ley de Kepler:

$r=\sqrt[3]{\dfrac{G\,M_V\,T^2}{4\pi^2}}$





Se pasa el periodo a segundos:

$T=30\ \text{h}\cdot3600\ \dfrac{\text{s}}{\text{h}}=1{,}08\cdot10^{5}\ \text{s}$

$r=\sqrt[3]{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot4{,}869\cdot10^{24}\cdot(1{,}08\cdot10^{5})^2}{4\pi^2}}=4{,}58\cdot10^{7}\ \text{m}$

La velocidad orbital sale del movimiento circular uniforme:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}=\dfrac{2\pi\cdot4{,}578\cdot10^{7}}{1{,}08\cdot10^{5}}$

$v=2{,}66\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Y la altura es el radio de la órbita menos el radio del planeta:

$h=r-R_V=4{,}578\cdot10^{7}-6{,}052\cdot10^{6}$

$h=3{,}97\cdot10^{7}\ \text{m}$

$\textbf{b) Calcule la energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía total de la sonda. [1 punto]}$

$E_c=\dfrac12\,m\,v^2=\dfrac12\cdot2500\cdot(2{,}663\cdot10^{3})^2$

$E_c=8{,}87\cdot10^{9}\ \text{J}$

$E_p=-G\dfrac{M_V\,m}{r}=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot4{,}869\cdot10^{24}\cdot2500}{4{,}578\cdot10^{7}}$

$E_p=-1{,}77\cdot10^{10}\ \text{J}$

Como en toda órbita circular, la energía potencial es el doble de la cinética y de signo contrario, de modo que:

$E=E_c+E_p=-G\dfrac{M_V\,m}{2r}$

$E=-8{,}87\cdot10^{9}\ \text{J}$

$\textbf{c) Calcule la energía mínima que habría que suministrar a la sonda para que abandone el campo gravitatorio de Venus. [0,5 puntos]}$

Abandonar el campo significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica total igual a cero:

$\Delta E=0-E=0-\left(-8{,}87\cdot10^{9}\right)$

$\Delta E=8{,}87\cdot10^{9}\ \text{J}$

Esa cantidad, el valor absoluto de la energía total en la órbita, es la energía de ligadura de la sonda.