Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Dos masas idénticas, de 500 g, están situadas en los puntos $(-3,0)$ y $(+3,0)$. Todas las distancias se dan en metros.

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio en el punto $(-1,0)$, así como la fuerza gravitatoria que experimenta una masa de 100 g situada en ese punto. [1 punto]

b) Calcule el potencial gravitatorio en los puntos $(-1,0)$ y $(+2,0)$ debido a las dos masas de 500 g. [0,75 puntos]

c) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una masa de 200 g cuando se desplaza desde el punto $(-1,0)$ hasta el punto $(+2,0)$. [0,75 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio en el punto } \boldsymbol{(-1,0)}\textbf{, así como la fuerza gravitatoria que experimenta una masa de 100 g situada en ese punto. [1 punto]}$



El campo gravitatorio creado por una masa puntual se dirige siempre hacia ella:

$\vec g=-G\dfrac{m}{r^2}\,\vec u_r$

Se calculan las distancias del punto $(-1,0)$ a cada masa:

$r_1=|-1-(-3)|=2\ \text{m}\qquad r_2=|-1-3|=4\ \text{m}$

El campo de la masa de la izquierda apunta hacia ella, es decir, en el sentido negativo del eje $x$:

$g_1=G\dfrac{m}{r_1^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{0{,}5}{4}=8{,}34\cdot10^{-12}\ \text{N/kg}$

Y el de la masa de la derecha, en el sentido positivo:

$g_2=G\dfrac{m}{r_2^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{0{,}5}{16}=2{,}08\cdot10^{-12}\ \text{N/kg}$

Por el principio de superposición, y como los dos campos son opuestos, se restan:

$\vec g=\left(-8{,}34+2{,}08\right)\cdot10^{-12}\,\vec\imath$

$\vec g=-6{,}25\cdot10^{-12}\,\vec\imath\ \text{N/kg}$

La fuerza sobre una masa de $100\ \text{g}=0{,}1\ \text{kg}$ colocada ahí es:

$\vec F=m\,\vec g=0{,}1\cdot\left(-6{,}25\cdot10^{-12}\right)\vec\imath$

$\vec F=-6{,}25\cdot10^{-13}\,\vec\imath\ \text{N}$

Gana el campo de la masa más cercana, así que el punto es atraído hacia la izquierda.

$\textbf{b) Calcule el potencial gravitatorio en los puntos } \boldsymbol{(-1,0)}\textbf{ y } \boldsymbol{(+2,0)}\textbf{ debido a las dos masas de 500 g. [0,75 puntos]}$

El potencial es una magnitud escalar, así que se suman sin más los de las dos masas:

$V=-G\,m\left(\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}\right)$

En el punto $(-1,0)$, con $r_1=2\ \text{m}$ y $r_2=4\ \text{m}$:

$V(-1,0)=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot0{,}5\left(\dfrac12+\dfrac14\right)$

$V(-1,0)=-2{,}50\cdot10^{-11}\ \text{J/kg}$

En el punto $(+2,0)$ las distancias son $5\ \text{m}$ y $1\ \text{m}$:

$V(2,0)=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot0{,}5\left(\dfrac15+\dfrac11\right)$

$V(2,0)=-4{,}00\cdot10^{-11}\ \text{J/kg}$

$\textbf{c) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una masa de 200 g cuando se desplaza desde el punto } \boldsymbol{(-1,0)}\textbf{ hasta el punto } \boldsymbol{(+2,0)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Como el campo gravitatorio es conservativo, el trabajo se obtiene de la diferencia de potenciales y no depende del camino:

$W=m\left(V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}}\right)$

$W=0{,}2\left(-2{,}501\cdot10^{-11}+4{,}002\cdot10^{-11}\right)$

$W=3{,}00\cdot10^{-12}\ \text{J}$

El trabajo es positivo porque el punto de llegada tiene un potencial más negativo: el desplazamiento se produce espontáneamente, en el sentido en que el campo empuja a la masa.