Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cantabria · 2022

Un haz de luz compuesto por dos rayos monocromáticos incide desde el aire con un ángulo respecto a la normal de 30° sobre la superficie inferior de un vidrio de 15 cm de espesor. El índice de refracción del vidrio para una de las ondas es $n_1 = 1{,}55$, mientras que para la otra onda es $n_2 = 1{,}63$.

a) Calcule la distancia entre los dos rayos a la salida del vidrio por su cara superior. [1,5 puntos]

b) Si la frecuencia de la luz del primer rayo es de $4{,}51\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$, calcule su longitud de onda en el interior del vidrio. [1 punto]

Datos: índice de refracción del aire, $n_{\text{aire}} = 1$; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}/\text{s}$.

$\textbf{a) Calcule la distancia entre los dos rayos a la salida del vidrio por su cara superior. [1,5 puntos]}$



Los dos rayos entran juntos por el mismo punto, pero cada uno ve un índice de refracción distinto, así que se refractan con ángulos diferentes y se separan dentro del vidrio. Es lo que ocurre en la dispersión de la luz blanca por un prisma.

Se aplica la ley de Snell a cada uno de ellos:

$n_{\text{aire}}\sin30^\circ=n_1\sin\hat r_1\Rightarrow \sin\hat r_1=\dfrac{0{,}5}{1{,}55}=0{,}3226$

$\hat r_1=18{,}82^\circ$

$\sin\hat r_2=\dfrac{0{,}5}{1{,}63}=0{,}3067\Rightarrow \hat r_2=17{,}86^\circ$

Cada rayo avanza dentro del vidrio en línea recta, así que al recorrer los 15 cm de espesor se desplaza lateralmente:

$x_i=e\tan\hat r_i$

$x_1=0{,}15\cdot\tan18{,}82^\circ=5{,}112\cdot10^{-2}\ \text{m}$

$x_2=0{,}15\cdot\tan17{,}86^\circ=4{,}834\cdot10^{-2}\ \text{m}$

La distancia entre los dos puntos de salida es la diferencia:

$\Delta x=x_1-x_2=5{,}112\cdot10^{-2}-4{,}834\cdot10^{-2}$

$\Delta x=2{,}78\cdot10^{-3}\ \text{m}=2{,}78\ \text{mm}$

Los dos rayos salen paralelos entre sí y paralelos al incidente, ya que las caras son paralelas y cada uno recupera su ángulo de $30^\circ$, pero separados $2{,}78\ \text{mm}$ sobre la cara superior.

$\textbf{b) Si la frecuencia de la luz del primer rayo es de } \boldsymbol{4{,}51\cdot 10^{14}\ \text{Hz}}\textbf{, calcule su longitud de onda en el interior del vidrio. [1 punto]}$

La frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro; lo que cambia es la velocidad, y con ella la longitud de onda.

$v_1=\dfrac{c}{n_1}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}55}=1{,}94\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

$\lambda_1=\dfrac{v_1}{f}=\dfrac{1{,}935\cdot10^{8}}{4{,}51\cdot10^{14}}$

$\lambda_1=4{,}29\cdot10^{-7}\ \text{m}=429\ \text{nm}$

En el aire ese mismo rayo tendría una longitud de onda de $665\ \text{nm}$: al entrar en el vidrio se acorta en el factor $n_1$.