Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2022

En el centro de una pista de circo se sitúa un sonómetro (aparato medidor del nivel de intensidad sonora). Estando el circo sin público, un payaso que está a 10 m del centro emite un grito y el sonómetro marca 65 dB. Si el payaso grita nuevamente, pero desde uno de los asientos para los asistentes, estando el circo sin público, el sonómetro marca 61,48 dB. Finalmente, un día de actuación, el público asistente grita al unísono en un momento determinado, marcando el sonómetro 84,49 dB. Suponiendo que todas las personas (cualquiera del público o payaso) gritan con la misma potencia, y que todo el público está a la misma distancia del centro de la pista, calcule:

a) La potencia del grito emitido por el payaso. [1 punto]

b) La distancia a la que se encuentra el público del centro de la pista. [0,75 puntos]

c) El número de personas que asisten a la actuación. [0,75 puntos]

Dato: la mínima intensidad que puede percibir el oído humano es $I_0 = 10^{-12}\ \text{W}/\text{m}^2$.

$\textbf{a) La potencia del grito emitido por el payaso. [1 punto]}$










El nivel de intensidad sonora y la intensidad están ligados por la escala logarítmica, y la intensidad con la potencia por la ley del cuadrado inverso:

$\beta=10\log\dfrac{I}{I_0}\qquad I=\dfrac{P}{4\pi r^2}$





Con los 65 dB que marca el sonómetro cuando el payaso está a 10 m del centro:

$I_1=I_0\cdot10^{\beta/10}=10^{-12}\cdot10^{6{,}5}=3{,}16\cdot10^{-6}\ \text{W/m}^2$

$P=I_1\cdot4\pi r^2=3{,}16\cdot10^{-6}\cdot4\pi\cdot10^2$

$P=3{,}97\cdot10^{-3}\ \text{W}$

Cada grito, sea del payaso o de un espectador, se emite con una potencia de unos $3{,}97\ \text{mW}$.

$\textbf{b) La distancia a la que se encuentra el público del centro de la pista. [0,75 puntos]}$

Cuando el payaso grita desde uno de los asientos, el sonómetro marca 61,48 dB:

$I_2=10^{-12}\cdot10^{6{,}148}=1{,}41\cdot10^{-6}\ \text{W/m}^2$

Como la potencia del grito es la misma, la distancia se despeja de la ley del cuadrado inverso:

$d=\sqrt{\dfrac{P}{4\pi I_2}}=\sqrt{\dfrac{3{,}974\cdot10^{-3}}{4\pi\cdot1{,}406\cdot10^{-6}}}$

$d=15{,}0\ \text{m}$

El público está a $15\ \text{m}$ del centro de la pista.

$\textbf{c) El número de personas que asisten a la actuación. [0,75 puntos]}$

Las intensidades de focos independientes se suman, porque lo que se suma es la energía que llega por unidad de tiempo y superficie. Si todos gritan a la vez desde la misma distancia:

$I_{\text{total}}=N\cdot I_2$

Se calcula la intensidad que corresponde a los 84,49 dB medidos:

$I_{\text{total}}=10^{-12}\cdot10^{8{,}449}=2{,}81\cdot10^{-4}\ \text{W/m}^2$

$N=\dfrac{I_{\text{total}}}{I_2}=\dfrac{2{,}812\cdot10^{-4}}{1{,}406\cdot10^{-6}}$

$N=200\ \text{personas}$

Asisten a la actuación unas $200$ personas.