Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2022

La expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje $x$ es $y(x,t) = A\cos(\omega t - kx + \varphi)$. En el instante $t = 2\ \text{s}$, el punto situado en $x = 2\ \text{cm}$ tiene una aceleración de $-18\pi^2\ \text{cm}\cdot\text{s}^{-2}$ y un desplazamiento de $+2\ \text{cm}$ en la dirección $y$. En el instante $t = 0\ \text{s}$, el punto situado en $x = 0\ \text{cm}$ tiene el desplazamiento máximo de valor $+3\ \text{cm}$. Determine:

a) La amplitud y la fase inicial de la onda. [1 punto]

b) La frecuencia angular (pulsación) y el número de onda. [1,5 puntos]

$\textbf{a) La amplitud y la fase inicial de la onda. [1 punto]}$



La amplitud es la elongación máxima que alcanza cualquier punto de la cuerda. El enunciado dice que en $t=0$ el punto $x=0$ tiene el desplazamiento máximo, y que ese desplazamiento vale $+3\ \text{cm}$:

$A=3\ \text{cm}=0{,}03\ \text{m}$

Para la fase inicial se impone esa misma condición sobre la ecuación de la onda:

$y(0,0)=A\cos\varphi=A\Rightarrow \cos\varphi=1$

$\varphi=0\ \text{rad}$

La onda queda, por tanto, en la forma $y(x,t)=3\cos(\omega t-k\,x)$, con $y$ y $x$ en centímetros.

$\textbf{b) La frecuencia angular (pulsación) y el número de onda. [1,5 puntos]}$

Cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple, en el que la aceleración y la elongación están ligadas por:

$a_y=\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-\omega^2\,y$

Se sustituyen los datos del punto $x=2\ \text{cm}$ en el instante $t=2\ \text{s}$:

$-18\pi^2=-\omega^2\cdot2\Rightarrow \omega^2=9\pi^2$

$\omega=3\pi\ \text{rad/s}=9{,}42\ \text{rad/s}$

La frecuencia correspondiente es:

$f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{3\pi}{2\pi}=1{,}5\ \text{Hz}$

Para el número de onda se usa el otro dato del mismo punto, su elongación:

$y(2\ \text{cm},\,2\ \text{s})=3\cos\left(3\pi\cdot2-k\cdot2\right)=2$

$\cos\left(6\pi-2k\right)=\dfrac23$

Y como $\cos(6\pi-\alpha)=\cos\alpha$, la ecuación se reduce a:

$\cos(2k)=\dfrac23\Rightarrow 2k=\arccos\dfrac23=0{,}841\ \text{rad}$

$k=0{,}4205\ \text{rad/cm}=42{,}05\ \text{rad/m}$

De ahí sale además la longitud de onda:

$\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{42{,}05}=0{,}149\ \text{m}$

Se toma la determinación principal del arcocoseno, que es la única que da un número de onda positivo compatible con una onda que avanza hacia las $x$ crecientes.