Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2023

Una espira circular, de radio 3 cm, se encuentra inicialmente centrada en el origen de coordenadas, con su vector superficie paralelo al eje $X$. La espira gira en torno al eje $Z$, con una frecuencia de 20 Hz y se encuentra en el seno de un campo magnético $\vec{B}=4\vec{\mathrm{ı}}\text{ T}$.

b) Halle la expresión para el flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo. [1,25 puntos]

c) Halle la expresión para la fuerza electromotriz inducida sobre la espira en función del tiempo. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{flujo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{atraviesa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{espira}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tiempo.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$










El flujo magnético a través de una superficie plana es:

$\mathrm{\Phi }=\vec{B}\cdot \vec{S}=BS\cos \phi$

Al girar la espira, el ángulo entre su vector superficie y el campo cambia con el tiempo según $\phi =\omega t$.





Se calcula el área de la espira:

$S=\pi R^2=\pi \cdot (\mathrm{0,03}{)}^2=\mathrm{2,83}\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^2$

Y la frecuencia angular de giro:

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 20=40\pi \text{ rad/s}$

Inicialmente el vector superficie es paralelo al eje $X$, igual que el campo, de modo que el ángulo de partida es nulo y el flujo es máximo:

$\mathrm{\Phi }(t)=BS\cos (\omega t)=4\cdot \mathrm{2,83}\cdot {10}^{-3}\cos (40\pi t)$

$\mathrm{\Phi }(t)=\mathrm{1,13}\cdot {10}^{-2}\cos \left(40\pi t\right)\text{ Wb}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{electromotriz}}\mathbf{\text{inducida}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{espira}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tiempo.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Por la ley de inducción de Faraday y Lenz:

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}$

Se deriva la expresión del flujo respecto del tiempo:

${\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}=-\mathrm{1,131}\cdot {10}^{-2}\cdot 40\pi \mathrm{sen}(40\pi t)$

$\epsilon =\mathrm{1,131}\cdot {10}^{-2}\cdot 40\pi \mathrm{sen}(40\pi t)$

$\epsilon =\mathrm{1,42}\mathrm{sen}\left(40\pi t\right)\text{ V}$

La fuerza electromotriz inducida es alterna y sinusoidal, con un valor máximo de $\mathrm{1,42}\text{ V}$ y la misma frecuencia de giro de la espira. Este es exactamente el fundamento del alternador.