Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cantabria · 2023

Una carga eléctrica negativa $q_1 = -2\ \mu\text{C}$ se encuentra en el origen de coordenadas. Otra carga eléctrica negativa $q_2 = -1\ \mu\text{C}$ se acerca desde el infinito hasta el punto $(0,5)\ \text{m}$.

a) Calcule el trabajo realizado para llevar la carga $q_2$ hasta dicho punto. Razone el significado físico del signo de dicho trabajo. [1,25 puntos]

b) Determine la posición del punto del eje $Y$, situado entre ambas cargas, en el que una carga positiva $q$ estaría en equilibrio electrostático. [1,25 puntos]

Dato: constante de Coulomb, $k = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule el trabajo realizado para llevar la carga } \boldsymbol{q_2}\textbf{ hasta dicho punto. Razone el significado físico del signo de dicho trabajo. [1,25 puntos]}$










El campo eléctrico es conservativo, así que el trabajo de la fuerza eléctrica al trasladar una carga entre dos puntos es:

$W_{\text{campo}}=q\left(V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}}\right)$

y el que realiza un agente externo es el opuesto.





Se calcula el potencial que crea $q_1$ en el punto de llegada, que dista 5 m del origen:

$V=K\dfrac{q_1}{r}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{-2\cdot10^{-6}}{5}=-3600\ \text{V}$

El potencial en el infinito es nulo, luego el trabajo de la fuerza eléctrica vale:

$W_{\text{campo}}=q_2\left(V_\infty-V\right)=-10^{-6}\left(0-(-3600)\right)$

$W_{\text{campo}}=-3{,}6\cdot10^{-3}\ \text{J}$

Y, por tanto, el trabajo que hay que realizar desde fuera para llevar la carga hasta ahí es:

$W_{\text{ext}}=-W_{\text{campo}}=3{,}6\cdot10^{-3}\ \text{J}$

El signo tiene un significado claro: las dos cargas son negativas y se repelen, de modo que acercarlas no es espontáneo. El campo se opone al desplazamiento, su trabajo es negativo, y hay que empujar desde fuera aportando esos $3{,}6\ \text{mJ}$, que quedan almacenados como energía potencial del sistema.

$\textbf{b) Determine la posición del punto del eje } \boldsymbol{Y}\textbf{, situado entre ambas cargas, en el que una carga positiva } \boldsymbol{q}\textbf{ estaría en equilibrio electrostático. [1,25 puntos]}$

Una carga positiva situada entre las dos negativas es atraída por ambas, en sentidos opuestos. El equilibrio se da donde las dos fuerzas tienen el mismo módulo.

Llamando $y$ a la distancia desde el origen, donde está $q_1$, la distancia a $q_2$ es $5-y$:

$K\dfrac{|q_1|\,q}{y^2}=K\dfrac{|q_2|\,q}{(5-y)^2}$

Se simplifican $K$ y $q$ y se sustituyen los valores de las cargas:

$\dfrac{2}{y^2}=\dfrac{1}{(5-y)^2}\Rightarrow 2\,(5-y)^2=y^2$

Se toma la raíz cuadrada, quedándose con la solución positiva, que es la única con sentido físico dentro del segmento:

$\sqrt2\,(5-y)=y\Rightarrow 5\sqrt2=y\left(1+\sqrt2\right)$

$y=\dfrac{5\sqrt2}{1+\sqrt2}=2{,}93\ \text{m}$

Se descarta la otra raíz, $\sqrt2\,(5-y)=-y$, porque conduce a un punto fuera del segmento que une las cargas.

El punto pedido es $(0\ ;\ 2{,}93)\ \text{m}$: queda más cerca de la carga de menor valor absoluto, que es la que atrae con menos fuerza a igualdad de distancia.