Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un satélite artificial de masa $m = 1000\ \text{kg}$ describe una órbita circular alrededor de la Tierra, a velocidad $v = 6\ \text{km}/\text{s}$.

a) Calcule la altura $h$ a la que se encuentra desde la superficie terrestre. [1 punto]

b) Calcule las órbitas completas que describe el satélite en un día alrededor de la Tierra. [0,5 puntos]

c) Calcule la energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía total del satélite. [1 punto]

Datos: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T = 6\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; radio de la Tierra, $R_T = 6370\ \text{km}$.

$\textbf{a) Calcule la altura } \boldsymbol{h}\textbf{ a la que se encuentra desde la superficie terrestre. [1 punto]}$










La fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta de la órbita circular. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow v^2=\dfrac{G\,M_T}{r}$





De esa igualdad se despeja directamente el radio de la órbita:

$r=\dfrac{G\,M_T}{v^2}$

Se pasa la velocidad a unidades del Sistema Internacional:

$v=6\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}=6\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

$r=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{(6\cdot10^{3})^2}=1{,}11\cdot10^{7}\ \text{m}$

La altura sobre la superficie es ese radio menos el radio terrestre:

$h=r-R_T=1{,}112\cdot10^{7}-6{,}37\cdot10^{6}$

$h=4{,}75\cdot10^{6}\ \text{m}=4747\ \text{km}$

$\textbf{b) Calcule las órbitas completas que describe el satélite en un día alrededor de la Tierra. [0,5 puntos]}$

Se calcula primero el periodo del movimiento circular uniforme:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\cdot1{,}112\cdot10^{7}}{6\cdot10^{3}}=1{,}16\cdot10^{4}\ \text{s}$

Y se divide la duración de un día entre ese periodo:

$n=\dfrac{86400}{1{,}164\cdot10^{4}}=7{,}42$

El satélite completa $7$ órbitas enteras en un día, y queda a mitad de la octava.

$\textbf{c) Calcule la energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía total del satélite. [1 punto]}$

Con la velocidad orbital, que es dato del enunciado:

$E_c=\dfrac12\,m\,v^2=\dfrac12\cdot1000\cdot(6\cdot10^{3})^2$

$E_c=1{,}8\cdot10^{10}\ \text{J}$

La energía potencial gravitatoria, con el origen en el infinito:

$E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{r}=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot1000}{1{,}112\cdot10^{7}}$

$E_p=-3{,}6\cdot10^{10}\ \text{J}$

Se comprueba que, como en toda órbita circular, la energía potencial es el doble de la cinética y de signo contrario:

$E=E_c+E_p=1{,}8\cdot10^{10}-3{,}6\cdot10^{10}$

$E=-1{,}8\cdot10^{10}\ \text{J}$

La energía total es negativa, como corresponde a un satélite ligado al campo gravitatorio terrestre.