Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un cuerpo de masa $8\cdot 10^{8}\ \text{kg}$ se encuentra fijado en el punto $(100,0)\ \text{m}$ de un cierto sistema de referencia. Otro cuerpo de masa $2\cdot 10^{8}\ \text{kg}$ se encuentra fijado en el punto $(0,50)\ \text{m}$.

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio debido a los dos cuerpos en el punto $(0,0)\ \text{m}$. [1 punto]

b) Calcule el potencial gravitatorio debido a los dos cuerpos en los puntos $(0,0)\ \text{m}$ y $(100,50)\ \text{m}$. [1 punto]

c) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una masa de $10^{4}\ \text{kg}$ cuando se desplaza desde el punto $(0,0)\ \text{m}$ hasta el punto $(100,50)\ \text{m}$. [0,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio debido a los dos cuerpos en el punto } \boldsymbol{(0,0)\ \text{m}}\textbf{. [1 punto]}$










El campo gravitatorio creado por una masa puntual se dirige siempre hacia ella:

$\vec g=-G\dfrac{M}{r^2}\,\vec u_r$

y los campos de las dos masas se suman por el principio de superposición.





Campo creado por la masa $M_1=8\cdot10^{8}\ \text{kg}$, situada en $(100,0)\ \text{m}$. La distancia al origen es de 100 m y el campo apunta hacia ella, es decir, en el sentido positivo del eje $x$:

$g_1=G\dfrac{M_1}{r_1^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{8\cdot10^{8}}{100^2}=5{,}34\cdot10^{-6}\ \text{N/kg}$

Campo creado por la masa $M_2=2\cdot10^{8}\ \text{kg}$, situada en $(0,50)\ \text{m}$, que apunta en el sentido positivo del eje $y$:

$g_2=G\dfrac{M_2}{r_2^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{2\cdot10^{8}}{50^2}=5{,}34\cdot10^{-6}\ \text{N/kg}$

Los dos campos resultan iguales en módulo: la segunda masa es cuatro veces menor, pero está a la mitad de distancia, y el cuadrado de la distancia compensa exactamente esa diferencia.

$\vec g=\left(5{,}34\,\vec\imath+5{,}34\,\vec\jmath\right)\cdot10^{-6}\ \text{N/kg}$

$g=\sqrt{2}\cdot5{,}34\cdot10^{-6}=7{,}55\cdot10^{-6}\ \text{N/kg}$

El campo total forma $45^\circ$ con los ejes, como muestra la figura.

$\textbf{b) Calcule el potencial gravitatorio debido a los dos cuerpos en los puntos } \boldsymbol{(0,0)\ \text{m}}\textbf{ y } \boldsymbol{(100,50)\ \text{m}}\textbf{. [1 punto]}$

El potencial es una magnitud escalar, así que basta sumar los de las dos masas:

$V=-G\left(\dfrac{M_1}{r_1}+\dfrac{M_2}{r_2}\right)$

En el origen las distancias son 100 m y 50 m:

$V(0,0)=-6{,}67\cdot10^{-11}\left(\dfrac{8\cdot10^{8}}{100}+\dfrac{2\cdot10^{8}}{50}\right)=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}2\cdot10^{7}$

$V(0,0)=-8{,}00\cdot10^{-4}\ \text{J/kg}$

En el punto $(100,50)$ las distancias se invierten: dista 50 m de $M_1$ y 100 m de $M_2$:

$V(100,50)=-6{,}67\cdot10^{-11}\left(\dfrac{8\cdot10^{8}}{50}+\dfrac{2\cdot10^{8}}{100}\right)=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}8\cdot10^{7}$

$V(100,50)=-1{,}20\cdot10^{-3}\ \text{J/kg}$

$\textbf{c) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una masa de } \boldsymbol{10^{4}\ \text{kg}}\textbf{ cuando se desplaza desde el punto } \boldsymbol{(0,0)\ \text{m}}\textbf{ hasta el punto } \boldsymbol{(100,50)\ \text{m}}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Como el campo gravitatorio es conservativo, el trabajo se obtiene de la diferencia de potenciales:

$W=m\left(V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}}\right)=10^{4}\left(-8{,}004\cdot10^{-4}+1{,}2006\cdot10^{-3}\right)$

$W=4{,}00\ \text{J}$

El trabajo es positivo porque el punto de llegada tiene menor potencial: el desplazamiento se produce espontáneamente, en el sentido en que el campo empuja a la masa.