Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cantabria · 2023

Se dispone de una lente delgada convergente de 20 cm de distancia focal. Determine, indicando la naturaleza de la imagen junto con el trazado de rayos correspondiente, las posiciones donde debe colocarse un objeto real situado a la izquierda de la lente para que la imagen formada sea:

a) Derecha y de tamaño doble que el objeto. [1,25 puntos]

b) Invertida y de tamaño mitad que el objeto. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Derecha y de tamaño doble que el objeto. [1,25 puntos]}$

Se emplea el criterio de signos habitual, con el origen en el centro óptico y la luz viajando de izquierda a derecha, y se manejan a la vez la ecuación de las lentes delgadas y la del aumento lateral:

$\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}\qquad \beta=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{s'}{s}$

Que la imagen sea derecha y de tamaño doble significa que el aumento lateral vale $+2$:

$\beta=+2\Rightarrow s'=2s$

Se sustituye en la ecuación de las lentes:

$\dfrac{1}{2s}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{20}\Rightarrow -\dfrac{1}{2s}=\dfrac{1}{20}$

$s=-10\ \text{cm}\qquad s'=2s=-20\ \text{cm}$



El objeto debe colocarse a $10\ \text{cm}$ a la izquierda de la lente, es decir, entre el foco objeto y la lente. La imagen se forma a $20\ \text{cm}$, también a la izquierda: como $s'<0$, es virtual, derecha y del doble de tamaño. Es el funcionamiento de la lupa.

$\textbf{b) Invertida y de tamaño mitad que el objeto. [1,25 puntos]}$

Ahora el aumento lateral es negativo, porque la imagen es invertida, y de valor absoluto un medio:

$\beta=-\dfrac12\Rightarrow s'=-\dfrac{s}{2}$

$\dfrac{1}{-s/2}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{20}\Rightarrow -\dfrac{3}{s}=\dfrac{1}{20}$

$s=-60\ \text{cm}\qquad s'=-\dfrac{s}{2}=30\ \text{cm}$



El objeto debe colocarse a $60\ \text{cm}$ a la izquierda de la lente, más allá del doble de la distancia focal. La imagen se forma a $30\ \text{cm}$ a la derecha: como $s'>0$, es real, invertida y de la mitad de tamaño, y puede recogerse en una pantalla.