Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cantabria · 2023

Un rayo de luz monocromática, de 550 nm de longitud de onda, se propaga por el aire e incide sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas, con ángulo de incidencia $\theta = 30°$ respecto a la normal. El rayo atraviesa la lámina y sale nuevamente al aire.

a) Calcule los ángulos de refracción a la entrada y a la salida de la lámina de vidrio, dibujando un esquema de la trayectoria seguida por el rayo durante el proceso. [1 punto]

b) Calcule la velocidad, longitud de onda y frecuencia de la luz en el aire y en el vidrio. [0,75 puntos]

c) Si el rayo luminoso se dirigiera desde el vidrio hacia el aire, ¿a partir de qué ángulo de incidencia se produciría la reflexión total? [0,75 puntos]

Datos: índice de refracción del aire, $n_{\text{aire}} = 1$; índice de refracción del vidrio, $n_{\text{vidrio}} = 1{,}5$; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}/\text{s}$.

$\textbf{a) Calcule los ángulos de refracción a la entrada y a la salida de la lámina de vidrio, dibujando un esquema de la trayectoria seguida por el rayo durante el proceso. [1 punto]}$










La ley de Snell relaciona los ángulos con la normal a cada cara:

$n_1\sin\hat\imath=n_2\sin\hat r$

Al pasar del aire al vidrio, más denso ópticamente, el rayo se acerca a la normal.





A la entrada de la lámina:

$n_{\text{aire}}\sin30^\circ=n_{\text{vidrio}}\sin\hat r$

$\sin\hat r=\dfrac{1\cdot0{,}5}{1{,}5}=0{,}3333\Rightarrow \hat r=19{,}5^\circ$

A la salida el rayo incide sobre la segunda cara con ese mismo ángulo $\hat r$, porque las dos caras son paralelas y la normal es la misma:

$n_{\text{vidrio}}\sin19{,}5^\circ=n_{\text{aire}}\sin\hat r\,'$

$\sin\hat r\,'=1{,}5\cdot0{,}3333=0{,}5\Rightarrow \hat r\,'=30^\circ$

El rayo sale de la lámina paralelo al incidente y con el mismo ángulo con el que entró; el único efecto de la lámina es un desplazamiento lateral.

$\textbf{b) Calcule la velocidad, longitud de onda y frecuencia de la luz en el aire y en el vidrio. [0,75 puntos]}$

La frecuencia la impone el foco emisor y no cambia al pasar de un medio a otro. En el aire la luz viaja prácticamente a la velocidad $c$:

$v_{\text{aire}}=3\cdot10^{8}\ \text{m/s}\qquad \lambda_{\text{aire}}=550\ \text{nm}$

$f=\dfrac{v_{\text{aire}}}{\lambda_{\text{aire}}}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{550\cdot10^{-9}}=5{,}45\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

En el vidrio la velocidad se reduce en un factor igual al índice de refracción:

$v_{\text{vidrio}}=\dfrac{c}{n}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}5}=2\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

Y como la frecuencia es la misma, la longitud de onda se reduce en la misma proporción:

$\lambda_{\text{vidrio}}=\dfrac{v_{\text{vidrio}}}{f}=\dfrac{\lambda_{\text{aire}}}{n}=\dfrac{550}{1{,}5}$

$\lambda_{\text{vidrio}}=367\ \text{nm}$

$\textbf{c) Si el rayo luminoso se dirigiera desde el vidrio hacia el aire, ¿a partir de qué ángulo de incidencia se produciría la reflexión total? [0,75 puntos]}$

El ángulo límite es aquel al que corresponde un ángulo de refracción de $90^\circ$, con el rayo refractado saliendo rasante a la superficie. Solo puede darse al pasar a un medio menos denso ópticamente, como aquí.

$n_{\text{vidrio}}\sin\hat\imath_L=n_{\text{aire}}\sin90^\circ=1$

$\sin\hat\imath_L=\dfrac{1}{1{,}5}=0{,}6667$

$\hat\imath_L=41{,}8^\circ$

A partir de $41{,}8^\circ$ de incidencia no hay rayo refractado y toda la luz vuelve al vidrio: se produce la reflexión total.