Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2023

Una onda armónica transversal (ver figura) se propaga con velocidad $v = 40\ \text{cm}/\text{s}$ en el sentido negativo del eje $x$. Inicialmente, en el punto $x = 0$, la elongación es nula y la velocidad transversal positiva.

a) Determine la amplitud, la longitud de onda y la frecuencia de la onda. [1 punto]

b) Determine la expresión de la función de onda. [0,5 puntos]

c) Determine la velocidad transversal del punto de la onda situado en $x = 5$ centímetros, en función del tiempo. [1 punto]

$\textbf{a) Determine la amplitud, la longitud de onda y la frecuencia de la onda. [1 punto]}$

La amplitud y la longitud de onda se leen directamente de la figura del enunciado, que es una fotografía del perfil de la cuerda en un instante:

$A=6\ \text{cm}=0{,}06\ \text{m}$

$\lambda=20\ \text{cm}=0{,}20\ \text{m}$

La frecuencia se obtiene de la relación entre la velocidad de propagación y la longitud de onda, pasando antes la velocidad a unidades del Sistema Internacional:

$v=40\ \dfrac{\text{cm}}{\text{s}}=0{,}40\ \text{m/s}$

$v=\lambda f\Rightarrow f=\dfrac{v}{\lambda}=\dfrac{0{,}40}{0{,}20}$

$f=2\ \text{Hz}$

$\textbf{b) Determine la expresión de la función de onda. [0,5 puntos]}$

Se calculan la frecuencia angular y el número de onda:

$\omega=2\pi f=4\pi\ \text{rad/s}$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{0{,}20}=10\pi\ \text{rad/m}$

Como la onda se propaga en el sentido negativo del eje $x$, los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}(\omega t+k\,x+\varphi_0)$

La primera condición inicial dice que la elongación en $x=0$ es nula:

$y(0,0)=A\operatorname{sen}\varphi_0=0\Rightarrow \varphi_0=0\ \text{ó}\ \varphi_0=\pi$

La segunda decide entre ambas, porque la velocidad transversal ha de ser positiva:

$v_y=A\,\omega\cos(\omega t+k\,x+\varphi_0)$

$v_y(0,0)=A\,\omega\cos\varphi_0>0\Rightarrow \cos\varphi_0>0\Rightarrow \varphi_0=0\ \text{rad}$

La función de onda, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t)=0{,}06\operatorname{sen}\left(4\pi\,t+10\pi\,x\right)\ \text{m}$

$\textbf{c) Determine la velocidad transversal del punto de la onda situado en } \boldsymbol{x = 5}\textbf{ centímetros, en función del tiempo. [1 punto]}$

La velocidad transversal es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y(x,t)=\dfrac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\cos(\omega t+k\,x)=0{,}06\cdot4\pi\cos\left(4\pi\,t+10\pi\,x\right)$

Se sustituye la posición del punto, $x=5\ \text{cm}=0{,}05\ \text{m}$:

$10\pi\cdot0{,}05=\dfrac{\pi}{2}$

$v_y(0{,}05\ ;\ t)=0{,}754\cos\left(4\pi\,t+\dfrac{\pi}{2}\right)\ \text{m/s}$

Ese punto oscila con una velocidad transversal máxima de $0{,}754\ \text{m/s}$ y está desfasado un cuarto de longitud de onda respecto del origen.