Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2023

En una cuerda se propaga una onda armónica descrita por la función

$y(x,t) = a\cos\!\left(bt - \dfrac{2\pi}{c}\,x\right)$

a) ¿Qué magnitudes físicas representan $a$, $b$ y $c$ y cuáles son sus unidades en el Sistema Internacional? [1 punto]

b) Suponiendo que los parámetros $a$, $b$ y $c$ son números positivos, ¿qué información aporta sobre la onda el signo negativo de la expresión? [0,75 puntos]

c) ¿Qué magnitud física representa el cociente $bc/2\pi$? [0,75 puntos]

$\textbf{a) ¿Qué magnitudes físicas representan } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ y cuáles son sus unidades en el Sistema Internacional? [1 punto]}$



Se compara la ecuación del enunciado con la expresión general de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje $x$:

$y(x,t)=A\cos\left(\omega t-k\,x+\varphi_0\right)$

Identificando término a término:

$a=A$ es la amplitud, es decir, la elongación máxima de cada punto de la cuerda respecto de su posición de equilibrio. Se mide en metros.

$b=\omega$ es la frecuencia angular o pulsación, que indica lo rápido que oscila cada punto. Se mide en radianes por segundo.

$c=\lambda$ es la longitud de onda, la distancia entre dos puntos consecutivos que oscilan en fase. Se mide en metros, ya que el número de onda es:

$k=\dfrac{2\pi}{c}\ \left[\text{rad/m}\right]$

y para que el argumento del coseno sea adimensional, $c$ ha de tener unidades de longitud.

$\textbf{b) Suponiendo que los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ son números positivos, ¿qué información aporta sobre la onda el signo negativo de la expresión? [0,75 puntos]}$

El signo negativo del término en $x$ indica el sentido en que se propaga la onda.

La fase de la onda es $\phi=b\,t-\dfrac{2\pi}{c}\,x$. Un punto del perfil que se mueva con la onda mantiene su fase constante, así que si el tiempo aumenta, para compensar el aumento de $b\,t$ también tiene que aumentar $x$.

Por tanto, la onda se propaga en el sentido positivo del eje $x$, es decir, hacia la derecha. Si los dos términos llevaran el mismo signo, la onda avanzaría hacia las $x$ negativas.

$\textbf{c) ¿Qué magnitud física representa el cociente } \boldsymbol{bc/2\pi}\textbf{? [0,75 puntos]}$

Se sustituye cada parámetro por la magnitud que representa:

$\dfrac{b\,c}{2\pi}=\dfrac{\omega\,\lambda}{2\pi}$

Y como la frecuencia angular está ligada a la frecuencia por $\omega=2\pi f$:

$\dfrac{b\,c}{2\pi}=\dfrac{2\pi f\,\lambda}{2\pi}=\lambda\,f=v$

El cociente es la velocidad de propagación de la onda, que se mide en metros por segundo.

También puede verse dimensionalmente: $b$ se mide en $\text{s}^{-1}$ y $c$ en metros, así que su producto tiene unidades de $\text{m/s}$.