Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2023

El $^{210}_{\ 84}\text{Po}$ se desintegra por emisión alfa dando lugar a Plomo estable, con periodo de semidesintegración de 138,4 días.

a) Escriba la reacción de desintegración. [0,5 puntos]

b) Calcule la constante de desintegración. [0,5 puntos]

Se dispone de una muestra de $10^{16}$ átomos de $^{210}_{\ 84}\text{Po}$.

c) Al cabo de un año, ¿cuál será la actividad de la muestra y cuántos átomos de Polonio-210 quedarán? [1,5 puntos]

$\textbf{a) Escriba la reacción de desintegración. [0,5 puntos]}$

En una desintegración alfa el núcleo emite una partícula $\alpha$, que es un núcleo de helio-4, y se transforma en otro elemento.

Las leyes de conservación del número másico y del número atómico obligan a que el núcleo resultante tenga cuatro unidades menos de masa y dos de carga:

$^{210}_{\ 84}\text{Po}\ \longrightarrow\ ^{4}_{2}\text{He}+^{206}_{\ 82}\text{Pb}$

Se comprueba que los números cuadran: $210=4+206$ en el superíndice y $84=2+82$ en el subíndice, y en efecto el elemento de número atómico 82 es el plomo.

$\textbf{b) Calcule la constante de desintegración. [0,5 puntos]}$










El periodo de semidesintegración es el tiempo que ha de transcurrir para que quede la mitad de los núcleos:

$\dfrac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}}\Rightarrow \lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$





$\lambda=\dfrac{\ln 2}{138{,}4}=5{,}01\cdot10^{-3}\ \text{días}^{-1}$

Conviene expresarla también en unidades del Sistema Internacional, porque hará falta para la actividad:

$\lambda=\dfrac{5{,}01\cdot10^{-3}}{24\cdot3600}=5{,}80\cdot10^{-8}\ \text{s}^{-1}$

$\textbf{c) Al cabo de un año, ¿cuál será la actividad de la muestra y cuántos átomos de Polonio-210 quedarán? [1,5 puntos]}$

Se aplica la ley de desintegración radiactiva con un tiempo de un año, expresado en días para que sea coherente con la constante:

$t=365\ \text{días}$

$N=N_0\,e^{-\lambda t}=10^{16}\,e^{-5{,}008\cdot10^{-3}\cdot365}$

$N=10^{16}\,e^{-1{,}828}=1{,}61\cdot10^{15}\ \text{átomos}$

La actividad es el producto de la constante de desintegración, en $\text{s}^{-1}$, por el número de núcleos que quedan:

$A=\lambda\,N=5{,}80\cdot10^{-8}\cdot1{,}61\cdot10^{15}$

$A=9{,}32\cdot10^{7}\ \text{Bq}$

Al cabo de un año, algo más de dos periodos y medio de semidesintegración, quedan $1{,}61\cdot10^{15}$ átomos de polonio y la muestra tiene una actividad de $9{,}32\cdot10^{7}\ \text{Bq}$.