Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cantabria · 2023

Cuando se incide sobre un material con luz monocromática de longitud de onda en el vacío $\lambda = 550\ \text{nm}$ se liberan electrones con un potencial de frenado de 0,4 V. Calcule:

a) El trabajo de extracción del metal. [1 punto]

b) El rango de longitudes de onda en que se produce efecto fotoeléctrico. [0,75 puntos]

c) La energía cinética máxima de los electrones al incidir con una longitud de onda de $\lambda = 214\ \text{nm}$. [0,75 puntos]

Datos: $1\ \text{eV} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{J}$; constante de Planck, $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}/\text{s}$.

$\textbf{a) El trabajo de extracción del metal. [1 punto]}$



Según la explicación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón incidente se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón emitido:

$h\,f=W_0+E_{c,\max}$

Se calcula la energía del fotón a partir de su longitud de onda:

$E=h\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{550\cdot10^{-9}}=3{,}62\cdot10^{-19}\ \text{J}$

El potencial de frenado es el que detiene a los electrones más rápidos, de modo que mide su energía cinética máxima:

$E_{c,\max}=|q_e|\,V_0=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}4=6{,}4\cdot10^{-20}\ \text{J}$

$W_0=E-E_{c,\max}=3{,}62\cdot10^{-19}-0{,}64\cdot10^{-19}$

$W_0=2{,}98\cdot10^{-19}\ \text{J}=1{,}86\ \text{eV}$

$\textbf{b) El rango de longitudes de onda en que se produce efecto fotoeléctrico. [0,75 puntos]}$

Hay emisión mientras la energía del fotón sea al menos el trabajo de extracción. El caso límite define la longitud de onda umbral:

$W_0=h\dfrac{c}{\lambda_0}\Rightarrow \lambda_0=\dfrac{h\,c}{W_0}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{2{,}976\cdot10^{-19}}$

$\lambda_0=6{,}68\cdot10^{-7}\ \text{m}=668\ \text{nm}$

Como la energía del fotón crece al disminuir la longitud de onda, hay efecto fotoeléctrico para:

$\lambda<668\ \text{nm}$

$\textbf{c) La energía cinética máxima de los electrones al incidir con una longitud de onda de } \boldsymbol{\lambda = 214\ \text{nm}}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Se calcula la energía de los nuevos fotones:

$E'=h\dfrac{c}{\lambda'}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{214\cdot10^{-9}}=9{,}29\cdot10^{-19}\ \text{J}$

El trabajo de extracción es una propiedad del metal y no cambia al cambiar la luz, así que:

$E_{c,\max}=E'-W_0=9{,}29\cdot10^{-19}-2{,}98\cdot10^{-19}$

$E_{c,\max}=6{,}32\cdot10^{-19}\ \text{J}=3{,}95\ \text{eV}$