Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Cantabria · 2023

Un electrón penetra con velocidad $\vec v = 10^{8}\,\vec\imath\ \text{m}/\text{s}$ en una región del espacio donde existe un campo magnético uniforme $\vec B = 0{,}2\,\vec\jmath\ \text{T}$. En dicha región, el electrón describe una trayectoria circular.

a) Determine el vector fuerza que el campo magnético ejerce sobre el electrón. [1 punto]

b) Determine el radio de la trayectoria circular descrita por el electrón, así como el periodo de dicho movimiento. [1 punto]

c) Represente gráficamente la trayectoria descrita por el electrón en el interior de la región con campo magnético, junto con los vectores fuerza, campo magnético y velocidad. [0,5 puntos]

Datos: carga del electrón, $q_e = -1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$; masa del electrón, $m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Determine el vector fuerza que el campo magnético ejerce sobre el electrón. [1 punto]}$










La fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga en movimiento es la fuerza de Lorentz:

$\vec F=q\left(\vec v\times\vec B\right)$

Es siempre perpendicular a la velocidad, de modo que no varía el módulo de esta y la trayectoria resulta circular.





Se calcula el producto vectorial, teniendo en cuenta que $\vec\imath\times\vec\jmath=\vec k$:

$\vec v\times\vec B=10^{8}\,\vec\imath\times0{,}2\,\vec\jmath=2\cdot10^{7}\,\vec k$

Y se multiplica por la carga del electrón, que es negativa y por tanto invierte el sentido:

$\vec F=-1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2\cdot10^{7}\,\vec k$

$\vec F=-3{,}2\cdot10^{-12}\,\vec k\ \text{N}$

La fuerza tiene módulo $3{,}2\cdot10^{-12}\ \text{N}$ y va en el sentido negativo del eje $Z$.

$\textbf{b) Determine el radio de la trayectoria circular descrita por el electrón, así como el periodo de dicho movimiento. [1 punto]}$

La fuerza magnética hace de fuerza centrípeta, así que por la segunda ley de Newton:

$|q|\,v\,B=\dfrac{m_e\,v^2}{r}\Rightarrow r=\dfrac{m_e\,v}{|q|\,B}$

$r=\dfrac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot10^{8}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}2}$

$r=2{,}84\cdot10^{-3}\ \text{m}=2{,}84\ \text{mm}$

El periodo se obtiene del movimiento circular uniforme:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\,m_e}{|q|\,B}=\dfrac{2\pi\cdot9{,}1\cdot10^{-31}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}2}$

$T=1{,}79\cdot10^{-10}\ \text{s}$

Nótese que el periodo no depende de la velocidad del electrón, sino solo de su masa, su carga y el campo: es la propiedad en la que se basa el ciclotrón.

$\textbf{c) Represente gráficamente la trayectoria descrita por el electrón en el interior de la región con campo magnético, junto con los vectores fuerza, campo magnético y velocidad. [0,5 puntos]}$

La velocidad va en la dirección del eje $X$ y el campo en la del eje $Y$, así que la fuerza, perpendicular a ambos, está contenida en el plano $XZ$: la trayectoria es una circunferencia en ese plano y el campo magnético es perpendicular a él, entrando en el papel.

En la figura del apartado a) se representa esa circunferencia. El vector velocidad es en todo momento tangente a la trayectoria, y la fuerza magnética apunta siempre hacia el centro, haciendo de fuerza centrípeta.

Como la fuerza es perpendicular al desplazamiento en cada instante, su trabajo es nulo y el módulo de la velocidad no cambia: el movimiento es circular uniforme.