Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cantabria · 2023

a) Represente gráficamente las líneas de campo eléctrico que genera una carga puntual $q$, en cualquier punto de su entorno, para los casos: $q > 0$ y $q < 0$. [0,5 puntos]

Dos cargas eléctricas puntuales de valor $-2\ \text{nC}$ y $3\ \text{nC}$ se encuentran fijas, en puntos de coordenadas cartesianas $(0,0)\ \text{cm}$ y $(4,0)\ \text{cm}$ respectivamente.

b) Determine las coordenadas del punto $P$, situado en el segmento que une ambas cargas, en el que el potencial eléctrico se anula. [1 punto]

c) Se sitúa un protón en reposo en el punto $P$. Determine la velocidad con que llegará al punto de coordenadas $(1,0)\ \text{cm}$. [1 punto]

Datos: constante de Coulomb, $k = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$; carga del protón, $q_p = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$; masa del protón, $m_p = 1{,}67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Represente gráficamente las líneas de campo eléctrico que genera una carga puntual } \boldsymbol{q}\textbf{, en cualquier punto de su entorno, para los casos: } \boldsymbol{q > 0}\textbf{ y } \boldsymbol{q < 0}\textbf{. [0,5 puntos]}$



El campo creado por una carga puntual es radial y su módulo vale:

$E=K\dfrac{|q|}{r^2}$

Si la carga es positiva, las líneas de campo salen de ella y se alejan radialmente hacia el infinito: la carga es un manantial de campo. Si la carga es negativa, las líneas vienen del infinito y entran en ella: la carga es un sumidero.

En ambos casos las líneas son radios de las esferas centradas en la carga, y se van separando al alejarse porque el campo disminuye con el cuadrado de la distancia.

$\textbf{b) Determine las coordenadas del punto } \boldsymbol{P}\textbf{, situado en el segmento que une ambas cargas, en el que el potencial eléctrico se anula. [1 punto]}$



El potencial es una magnitud escalar, así que se suman los de las dos cargas con su signo. Llamando $x$ a la distancia del punto a la carga situada en el origen, y trabajando en metros:

$V_P=K\dfrac{q_1}{x}+K\dfrac{q_2}{0{,}04-x}=0$

Se saca factor común y se sustituyen las cargas:

$\dfrac{-2\cdot10^{-9}}{x}+\dfrac{3\cdot10^{-9}}{0{,}04-x}=0$

$3\,x=2\,(0{,}04-x)\Rightarrow 5\,x=0{,}08$

$x=0{,}016\ \text{m}=1{,}6\ \text{cm}$

El potencial se anula en el punto $P(1{,}6\ ;\ 0)\ \text{cm}$, más cerca de la carga de menor valor absoluto, como cabía esperar.

$\textbf{c) Se sitúa un protón en reposo en el punto } \boldsymbol{P}\textbf{. Determine la velocidad con que llegará al punto de coordenadas } \boldsymbol{(1,0)\ \text{cm}}\textbf{. [1 punto]}$

Como el campo eléctrico es conservativo y sobre el protón no actúa ninguna otra fuerza, la energía mecánica se conserva:

$\Delta E_c+\Delta E_p=0\Rightarrow \dfrac12\,m_p\,v^2=q_p\left(V_P-V_1\right)$

Se calcula el potencial en el punto $(1,0)\ \text{cm}$, que dista 1 cm de la primera carga y 3 cm de la segunda:

$V_1=9\cdot10^{9}\left(\dfrac{-2\cdot10^{-9}}{0{,}01}+\dfrac{3\cdot10^{-9}}{0{,}03}\right)=9\cdot10^{9}\left(-2\cdot10^{-7}+10^{-7}\right)$

$V_1=-900\ \text{V}$

El protón, que es positivo, se mueve espontáneamente hacia los potenciales decrecientes, así que en efecto irá de $P$ a ese punto ganando energía cinética:

$\dfrac12\,m_p\,v^2=1{,}6\cdot10^{-19}\left(0-(-900)\right)=1{,}44\cdot10^{-16}\ \text{J}$

$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}44\cdot10^{-16}}{1{,}67\cdot10^{-27}}}$

$v=4{,}15\cdot10^{5}\ \text{m/s}$