Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un satélite de 1000 kg de masa describe una trayectoria circular orbitando alrededor de la Tierra, a una altura, respecto de la superficie, de 10000 km. Calcule:

a) El periodo y la velocidad orbital del satélite. [0,5 puntos]

b) La energía que hubo que transmitir al satélite para ponerlo en órbita desde la superficie de la Tierra. [1 punto]

c) La energía mínima que habría que suministrar al satélite para que escape de la atracción gravitatoria terrestre desde su órbita actual. [1 punto]

Datos: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T = 6\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; radio de la Tierra, $R_T = 6370\ \text{km}$.

$\textbf{a) El periodo y la velocidad orbital del satélite. [0,5 puntos]}$










La atracción gravitatoria terrestre es la fuerza centrípeta que mantiene al satélite en su órbita circular. Por la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}$





El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra:

$r=R_T+h=6370+10000=16370\ \text{km}=1{,}637\cdot10^{7}\ \text{m}$

$v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{1{,}637\cdot10^{7}}}=4{,}94\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\cdot1{,}637\cdot10^{7}}{4{,}944\cdot10^{3}}$

$T=2{,}08\cdot10^{4}\ \text{s}$

El satélite da una vuelta cada $2{,}08\cdot10^{4}\ \text{s}$, es decir, cada $5{,}78$ horas, moviéndose a $4{,}94\ \text{km/s}$.

$\textbf{b) La energía que hubo que transmitir al satélite para ponerlo en órbita desde la superficie de la Tierra. [1 punto]}$

La energía que hay que comunicarle es la diferencia entre su energía mecánica en la órbita y la que tenía en la superficie, donde se supone en reposo:

$\Delta E=E_{\text{órbita}}-E_{\text{superficie}}$

En una órbita circular la energía total es la mitad de la potencial:

$E_{\text{órbita}}=-G\dfrac{M_T\,m}{2r}=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot1000}{2\cdot1{,}637\cdot10^{7}}=-1{,}22\cdot10^{10}\ \text{J}$

En la superficie solo tiene energía potencial:

$E_{\text{superficie}}=-G\dfrac{M_T\,m}{R_T}=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot1000}{6{,}37\cdot10^{6}}=-6{,}28\cdot10^{10}\ \text{J}$

$\Delta E=-1{,}22\cdot10^{10}+6{,}28\cdot10^{10}$

$\Delta E=5{,}06\cdot10^{10}\ \text{J}$

$\textbf{c) La energía mínima que habría que suministrar al satélite para que escape de la atracción gravitatoria terrestre desde su órbita actual. [1 punto]}$

Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, alcanzar una energía mecánica total igual a cero:

$\Delta E'=0-E_{\text{órbita}}=0-\left(-1{,}22\cdot10^{10}\right)$

$\Delta E'=1{,}22\cdot10^{10}\ \text{J}$

Esa cantidad, el valor absoluto de la energía total en la órbita, es la energía de ligadura del satélite: hace falta bastante menos para escapar desde la órbita que la que costó llegar hasta ella.