Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Dos masas $m_1 = 5\ \text{kg}$ y $m_2 = 10\ \text{kg}$ están situadas en los puntos $(0,0)\ \text{m}$ y $(0,-2)\ \text{m}$ respectivamente.

a) Calcule y represente gráficamente el vector fuerza gravitatoria debido a las masas $m_1$ y $m_2$, que experimenta una masa $m_3 = 100\ \text{g}$ situada en el punto $(1,-2)\ \text{m}$. [1 punto]

b) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio creado por $m_1$ y $m_2$, cuando $m_3$ se desplaza del punto $(1,-2)\ \text{m}$ al punto $(1,0)\ \text{m}$. [1 punto]

c) Razone brevemente el significado físico del signo del trabajo obtenido en el apartado b). [0,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule y represente gráficamente el vector fuerza gravitatoria debido a las masas } \boldsymbol{m_1}\textbf{ y } \boldsymbol{m_2}\textbf{, que experimenta una masa } \boldsymbol{m_3 = 100\ \text{g}}\textbf{ situada en el punto } \boldsymbol{(1,-2)\ \text{m}}\textbf{. [1 punto]}$










Por la ley de gravitación universal, cada masa atrae a $m_3$ hacia sí misma:

$\vec F=-G\dfrac{M\,m_3}{r^2}\,\vec u_r$

y las dos fuerzas se suman vectorialmente por el principio de superposición.





Se expresa la masa en unidades del Sistema Internacional:

$m_3=100\ \text{g}=0{,}1\ \text{kg}$

Fuerza que ejerce $m_1$, que está en el origen:

$\overrightarrow{r_1}=(0,0)-(1,-2)=(-1,2)\ \text{m}\Rightarrow r_1=\sqrt5=2{,}24\ \text{m}$

$F_1=G\dfrac{m_1m_3}{r_1^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{5\cdot0{,}1}{5}=6{,}67\cdot10^{-12}\ \text{N}$

$\vec F_1=F_1\cdot\dfrac{(-1,2)}{\sqrt5}=\left(-2{,}98\,\vec\imath+5{,}97\,\vec\jmath\right)\cdot10^{-12}\ \text{N}$

Fuerza que ejerce $m_2$, que está justo a la izquierda de $m_3$:

$\overrightarrow{r_2}=(0,-2)-(1,-2)=(-1,0)\ \text{m}\Rightarrow r_2=1\ \text{m}$

$\vec F_2=-G\dfrac{m_2m_3}{r_2^2}\,\vec\imath=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{10\cdot0{,}1}{1}\,\vec\imath=-6{,}67\cdot10^{-11}\,\vec\imath\ \text{N}$

Sumando ambas contribuciones:

$\vec F=\vec F_1+\vec F_2=\left(-6{,}97\,\vec\imath+0{,}597\,\vec\jmath\right)\cdot10^{-11}\ \text{N}$

$F=\sqrt{(6{,}97)^2+(0{,}597)^2}\cdot10^{-11}=6{,}99\cdot10^{-11}\ \text{N}$

La fuerza es prácticamente horizontal y dirigida hacia $m_2$, ya que esta masa es el doble de grande y está cinco veces más cerca en términos de distancia al cuadrado.

$\textbf{b) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio creado por } \boldsymbol{m_1}\textbf{ y } \boldsymbol{m_2}\textbf{, cuando } \boldsymbol{m_3}\textbf{ se desplaza del punto } \boldsymbol{(1,-2)\ \text{m}}\textbf{ al punto } \boldsymbol{(1,0)\ \text{m}}\textbf{. [1 punto]}$

Al ser el campo gravitatorio conservativo, el trabajo es la disminución de la energía potencial y no depende del camino seguido:

$W=E_p(\text{inicial})-E_p(\text{final})$

En el punto de partida $(1,-2)$ las distancias son $r_1=\sqrt5\ \text{m}$ y $r_2=1\ \text{m}$:

$E_p(\text{ini})=-G\,m_3\left(\dfrac{m_1}{\sqrt5}+\dfrac{m_2}{1}\right)=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot0{,}1\left(\dfrac{5}{2{,}236}+10\right)$

$E_p(\text{ini})=-8{,}16\cdot10^{-11}\ \text{J}$

En el punto de llegada $(1,0)$ las distancias se intercambian: $r_1=1\ \text{m}$ y $r_2=\sqrt5\ \text{m}$:

$E_p(\text{fin})=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot0{,}1\left(\dfrac{5}{1}+\dfrac{10}{2{,}236}\right)=-6{,}32\cdot10^{-11}\ \text{J}$

$W=-8{,}16\cdot10^{-11}-\left(-6{,}32\cdot10^{-11}\right)$

$W=-1{,}84\cdot10^{-11}\ \text{J}$

$\textbf{c) Razone brevemente el significado físico del signo del trabajo obtenido en el apartado b). [0,5 puntos]}$

El trabajo del campo es negativo, lo que quiere decir que el desplazamiento va en contra de la fuerza gravitatoria: la masa se aleja de la masa dominante $m_2$ y la atracción se opone a ese movimiento.

Un desplazamiento así no es espontáneo. Para llevar $m_3$ del punto $(1,-2)$ al punto $(1,0)$ hay que aportar desde fuera una energía de $1{,}84\cdot10^{-11}\ \text{J}$, que se almacena como aumento de la energía potencial del sistema.