Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2023

La expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda tensa según el eje $x$ es $y(x,t) = 0{,}2\,\operatorname{sen}[2\pi(t + 2x)]$ (unidades SI). Determine:

a) La amplitud de la onda, la longitud de onda y la frecuencia de la onda. [0,75 puntos]

b) La velocidad de propagación de la onda (módulo, dirección y sentido). [0,75 puntos]

c) La velocidad y aceleración máximas de vibración de los puntos de la cuerda. [1 punto]

$\textbf{a) La amplitud de la onda, la longitud de onda y la frecuencia de la onda. [0,75 puntos]}$



Se compara la ecuación del enunciado con la expresión general de una onda armónica:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}(\omega t\pm kx+\varphi_0)$

Para poder identificar los términos se desarrolla el paréntesis:

$y(x,t)=0{,}2\operatorname{sen}\left[2\pi(t+2x)\right]=0{,}2\operatorname{sen}(2\pi\,t+4\pi\,x)$

Identificando término a término:

$A=0{,}2\ \text{m}$

$\omega=2\pi\ \text{rad/s}\Rightarrow f=\dfrac{\omega}{2\pi}=1\ \text{Hz}$

$k=4\pi\ \text{rad/m}\Rightarrow \lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{4\pi}=0{,}5\ \text{m}$

La onda tiene una amplitud de $0{,}2\ \text{m}$, una longitud de onda de $0{,}5\ \text{m}$ y una frecuencia de $1\ \text{Hz}$.

$\textbf{b) La velocidad de propagación de la onda (módulo, dirección y sentido). [0,75 puntos]}$

La velocidad de propagación se obtiene del cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

$v=\dfrac{\omega}{k}=\lambda f=\dfrac{2\pi}{4\pi}$

$v=0{,}5\ \text{m/s}$

En cuanto al sentido, los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo, lo que significa que la onda se propaga en el sentido negativo del eje $x$: para que la fase se mantenga constante, si $t$ aumenta, $x$ tiene que disminuir.

$\vec v=-0{,}5\,\vec\imath\ \text{m/s}$

$\textbf{c) La velocidad y aceleración máximas de vibración de los puntos de la cuerda. [1 punto]}$

Cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple en la dirección perpendicular a la de propagación. Derivando respecto del tiempo:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\cos(\omega t+kx)$

$a_y=\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-A\,\omega^2\operatorname{sen}(\omega t+kx)$

Los valores máximos se alcanzan cuando el coseno y el seno valen la unidad:

$v_{y,\max}=A\,\omega=0{,}2\cdot2\pi$

$v_{y,\max}=1{,}26\ \text{m/s}$

$a_{y,\max}=A\,\omega^2=0{,}2\cdot(2\pi)^2$

$a_{y,\max}=7{,}90\ \text{m/s}^2$

La velocidad máxima se da al pasar por la posición de equilibrio y la aceleración máxima en los extremos de la oscilación, como en todo movimiento armónico simple.