Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2024

Se dispone de una muestra de $10^{20}$ átomos de un isótopo radiactivo, cuyo periodo de semidesintegración es de 600 años.

a) Halle la constante de desintegración y la vida media del isótopo. [0,75 puntos]

b) ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que la muestra vea reducido su contenido en radioisótopos al 20 % de su número inicial? [1 punto]

c) Calcule las actividades inicial y final de la muestra. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Halle la constante de desintegración y la vida media del isótopo. [0,75 puntos]}$










El número de núcleos sin desintegrar sigue la ley exponencial:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}$

y el periodo de semidesintegración es el tiempo en que ese número se reduce a la mitad.





De la definición del periodo de semidesintegración se despeja la constante:

$\dfrac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}}\Rightarrow \lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=\dfrac{\ln 2}{600}$

$\lambda=1{,}16\cdot10^{-3}\ \text{años}^{-1}$

La vida media es el tiempo que por término medio tarda un núcleo en desintegrarse, y es la inversa de la constante:

$\tau=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{1{,}155\cdot10^{-3}}$

$\tau=866\ \text{años}$

$\textbf{b) ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que la muestra vea reducido su contenido en radioisótopos al 20 \% de su número inicial? [1 punto]}$

Se impone la condición sobre la ley de desintegración y se toman logaritmos neperianos:

$0{,}2\,N_0=N_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln 0{,}2=-\lambda t$

$t=\dfrac{\ln 5}{\lambda}=\dfrac{1{,}609}{1{,}155\cdot10^{-3}}$

$t=1{,}39\cdot10^{3}\ \text{años}$

Han de transcurrir unos $1393$ años, algo más de dos periodos de semidesintegración, como cabía esperar.

$\textbf{c) Calcule las actividades inicial y final de la muestra. [0,75 puntos]}$

La actividad es el número de desintegraciones por segundo, así que la constante de desintegración hay que expresarla en $\text{s}^{-1}$:

$\lambda=\dfrac{1{,}155\cdot10^{-3}}{365\cdot24\cdot3600}=3{,}66\cdot10^{-11}\ \text{s}^{-1}$

$A_0=\lambda\,N_0=3{,}66\cdot10^{-11}\cdot10^{20}$

$A_0=3{,}66\cdot10^{9}\ \text{Bq}$

La actividad es proporcional al número de núcleos, así que al quedar el 20 % de ellos la actividad se reduce en la misma proporción:

$A=0{,}2\,A_0=0{,}2\cdot3{,}66\cdot10^{9}$

$A=7{,}33\cdot10^{8}\ \text{Bq}$