Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cantabria · 2024

Cuando se incide sobre un metal con luz de 300 nm se emiten electrones con velocidad de $9\cdot 10^{5}\ \text{m}/\text{s}$. Calcule:

a) La energía de los fotones incidentes. [0,75 puntos]

b) La frecuencia umbral del material sobre el que se incide. [0,75 puntos]

c) La diferencia de potencial necesaria para frenar completamente los electrones emitidos. [1 punto]

Datos: constante de Planck, $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}/\text{s}$; masa del electrón, $m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; carga del electrón, $q_e = -1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) La energía de los fotones incidentes. [0,75 puntos]}$



La energía de un fotón depende solo de su frecuencia, y esta de su longitud de onda:

$E=h\,f=h\dfrac{c}{\lambda}$

Se expresa la longitud de onda en metros y se sustituye:

$\lambda=300\ \text{nm}=3\cdot10^{-7}\ \text{m}$

$E=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{3\cdot10^{-7}}$

$E=6{,}63\cdot10^{-19}\ \text{J}=4{,}14\ \text{eV}$

$\textbf{b) La frecuencia umbral del material sobre el que se incide. [0,75 puntos]}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón emitido:

$E=W_0+E_{c,\max}$

La energía cinética de los electrones se obtiene de su velocidad:

$E_{c,\max}=\dfrac12\,m_e\,v^2=\dfrac12\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(9\cdot10^{5})^2=3{,}69\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$W_0=E-E_{c,\max}=6{,}63\cdot10^{-19}-3{,}69\cdot10^{-19}=2{,}94\cdot10^{-19}\ \text{J}$

La frecuencia umbral es la del fotón cuya energía es justo el trabajo de extracción:

$W_0=h\,f_0\Rightarrow f_0=\dfrac{W_0}{h}=\dfrac{2{,}94\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}}$

$f_0=4{,}44\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

$\textbf{c) La diferencia de potencial necesaria para frenar completamente los electrones emitidos. [1 punto]}$

El potencial de frenado es el que hay que aplicar para que el trabajo eléctrico consuma toda la energía cinética de los electrones más rápidos:

$|q_e|\,V_0=E_{c,\max}\Rightarrow V_0=\dfrac{E_{c,\max}}{|q_e|}$

$V_0=\dfrac{3{,}69\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}$

$V_0=2{,}30\ \text{V}$

Con una diferencia de potencial de $2{,}30\ \text{V}$ ningún electrón llega al otro electrodo y la corriente se corta.