Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2024

Un foco sonoro $F$ se encuentra a una altura de 50 m sobre el suelo (ver figura). El nivel de intensidad en el punto $A$ es $\beta_A = 90\ \text{dB}$, mientras que en el punto $B$ es $\beta_B = 70\ \text{dB}$.

a) Calcule la potencia con la que emite el foco. [0,75 puntos]

b) Calcule la distancia $d$ entre el foco $F$ y el punto $B$. [0,75 puntos]

c) ¿Cuál sería el nivel de intensidad en el punto $A$ si se agrega otro foco de igual potencia a una altura de 25 metros sobre la vertical de $A$? [1 punto]

Dato: la mínima intensidad que puede percibir el oído humano es $I_0 = 10^{-12}\ \text{W}/\text{m}^2$.

$\textbf{a) Calcule la potencia con la que emite el foco. [0,75 puntos]}$



El nivel de intensidad sonora está ligado a la intensidad por la escala logarítmica:

$\beta=10\log\dfrac{I}{I_0}\Rightarrow I=I_0\cdot10^{\beta/10}$

En el punto $A$, que está en la vertical del foco:

$I_A=10^{-12}\cdot10^{9}=10^{-3}\ \text{W/m}^2$

El foco es puntual y emite por igual en todas las direcciones, así que la potencia se reparte por una superficie esférica:

$I_A=\dfrac{P}{4\pi r_A^2}\Rightarrow P=I_A\cdot4\pi r_A^2$

La distancia $r_A$ es la altura del foco, 50 m:

$P=10^{-3}\cdot4\pi\cdot50^2$

$P=31{,}4\ \text{W}$

$\textbf{b) Calcule la distancia } \boldsymbol{d}\textbf{ entre el foco } \boldsymbol{F}\textbf{ y el punto } \boldsymbol{B}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Se repite el cálculo de la intensidad, ahora para 70 dB:

$I_B=10^{-12}\cdot10^{7}=10^{-5}\ \text{W/m}^2$

Y se despeja la distancia de la misma ley del cuadrado inverso, con la potencia ya conocida:

$d=\sqrt{\dfrac{P}{4\pi I_B}}=\sqrt{\dfrac{31{,}4}{4\pi\cdot10^{-5}}}$

$d=500\ \text{m}$

El punto $B$ está a $500\ \text{m}$ del foco.

$\textbf{c) ¿Cuál sería el nivel de intensidad en el punto } \boldsymbol{A}\textbf{ si se agrega otro foco de igual potencia a una altura de 25 metros sobre la vertical de } \boldsymbol{A}\textbf{? [1 punto]}$

Las intensidades de dos focos independientes se suman, porque lo que se suma es la energía que llega por unidad de tiempo y de superficie.

El nuevo foco está sobre la misma vertical, a 25 m de $A$:

$I_2=\dfrac{P}{4\pi r_2^2}=\dfrac{31{,}4}{4\pi\cdot25^2}=4\cdot10^{-3}\ \text{W/m}^2$

Se observa que, al reducirse la distancia a la mitad, la intensidad se multiplica por cuatro.

La intensidad total en $A$ es:

$I_T=I_A+I_2=10^{-3}+4\cdot10^{-3}=5\cdot10^{-3}\ \text{W/m}^2$

Y el nivel de intensidad correspondiente:

$\beta_T=10\log\dfrac{5\cdot10^{-3}}{10^{-12}}=10\log\left(5\cdot10^{9}\right)$

$\beta_T=97{,}0\ \text{dB}$

Multiplicar por cinco la intensidad solo sube el nivel en 7 dB, que es la consecuencia directa de que la escala sea logarítmica.