Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2024

Una onda armónica transversal de frecuencia 5 Hz, de longitud de onda 40 cm y amplitud 2 cm, se propaga por una cuerda en sentido negativo del eje OX. En el instante $t = 0\ \text{s}$, la elongación del punto $x = 0$ es 1 cm y su velocidad es negativa. Halle:

a) La expresión matemática de la onda en unidades SI. [1 punto]

b) La velocidad de propagación de la onda. [0,75 puntos]

c) La velocidad transversal del punto de la onda situado en $x = 5\ \text{cm}$ en función del tiempo. [0,75 puntos]

$\textbf{a) La expresión matemática de la onda en unidades SI. [1 punto]}$



Se obtienen primero los parámetros de la onda a partir de los datos, expresados en unidades del Sistema Internacional:

$A=2\ \text{cm}=0{,}02\ \text{m}\qquad \lambda=40\ \text{cm}=0{,}4\ \text{m}\qquad f=5\ \text{Hz}$

$\omega=2\pi f=2\pi\cdot5=10\pi\ \text{rad/s}$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{0{,}4}=5\pi\ \text{rad/m}$

Como la onda se propaga en el sentido negativo del eje $OX$, los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo:

$y(x,t)=A\cos(\omega t+kx+\varphi_0)$

La primera condición inicial fija el coseno de la fase:

$y(0,0)=0{,}02\cos\varphi_0=0{,}01\Rightarrow \cos\varphi_0=\dfrac12\Rightarrow \varphi_0=\pm\dfrac{\pi}{3}$

La segunda condición decide entre las dos posibilidades. La velocidad transversal es:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=-A\,\omega\sin(\omega t+kx+\varphi_0)$

$v_y(0,0)=-A\,\omega\sin\varphi_0<0\Rightarrow \sin\varphi_0>0\Rightarrow \varphi_0=+\dfrac{\pi}{3}$

La expresión matemática de la onda es, por tanto:

$y(x,t)=0{,}02\cos\left(10\pi\,t+5\pi\,x+\dfrac{\pi}{3}\right)\ \text{m}$

$\textbf{b) La velocidad de propagación de la onda. [0,75 puntos]}$

La velocidad de propagación de una onda armónica es:

$v=\lambda\,f=\dfrac{\omega}{k}=0{,}4\cdot5$

$v=2\ \text{m/s}$

La onda avanza a $2\ \text{m/s}$ en el sentido negativo del eje $OX$.

$\textbf{c) La velocidad transversal del punto de la onda situado en } \boldsymbol{x = 5\ \text{cm}}\textbf{ en función del tiempo. [0,75 puntos]}$

Se parte de la expresión general de la velocidad transversal:

$v_y(x,t)=-A\,\omega\sin(\omega t+kx+\varphi_0)=-0{,}02\cdot10\pi\,\sin\left(10\pi\,t+5\pi\,x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

Se sustituye la posición del punto, $x=5\ \text{cm}=0{,}05\ \text{m}$:

$5\pi\cdot0{,}05+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{12}$

$v_y(0{,}05\ ;\ t)=-0{,}628\,\sin\left(10\pi\,t+\dfrac{7\pi}{12}\right)\ \text{m/s}$

Ese punto oscila con una velocidad transversal máxima de $0{,}628\ \text{m/s}$.