Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cantabria · 2024

Dos cargas $q_1 = -5\ \mu\text{C}$ y $q_2 = +5\ \mu\text{C}$ están situadas en los vértices $B$ y $C$ de la base de un triángulo equilátero de 50 cm de lado (ver figura). Calcule:

a) El campo eléctrico en el vértice $A$. [1 punto]

b) El potencial eléctrico en el punto $D$, equidistante de los puntos $A$ y $C$ del triángulo (marcado con un aspa en la figura). [0,75 puntos]

c) El trabajo realizado por el campo eléctrico al mover una tercera carga, $q_3 = +10\ \text{nC}$, desde el punto $D$ hasta un punto infinitamente alejado de la distribución de cargas. ¿Qué significa el signo del trabajo? [0,75 puntos]

Dato: constante de Coulomb, $k = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) El campo eléctrico en el vértice } \boldsymbol{A}\textbf{. [1 punto]}$










El campo creado por una carga puntual vale $E=K\dfrac{|q|}{r^2}$, se aleja de la carga si es positiva y se dirige hacia ella si es negativa.

Como el triángulo es equilátero, $A$ dista lo mismo de las dos cargas y los dos módulos coinciden.





Se pasa el lado a unidades del Sistema Internacional:

$r=50\ \text{cm}=0{,}5\ \text{m}$

$E_1=E_2=K\dfrac{|q|}{r^2}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{5\cdot10^{-6}}{0{,}5^2}=1{,}8\cdot10^{5}\ \text{N/C}$

El campo $\vec E_1$, creado por la carga negativa de $B$, apunta de $A$ hacia $B$; el campo $\vec E_2$, creado por la carga positiva de $C$, apunta de $C$ hacia $A$. Los dos forman $60^\circ$ con el lado $BC$, uno hacia abajo y el otro hacia arriba.

Al sumarlos, las componentes verticales se cancelan y las horizontales se suman, las dos hacia $B$:

$E_A=2\,E_1\cos60^\circ=2\cdot1{,}8\cdot10^{5}\cdot0{,}5$

$\vec E_A=-1{,}8\cdot10^{5}\,\vec\imath\ \text{N/C}$

El campo en el vértice $A$ tiene módulo $1{,}8\cdot10^{5}\ \text{N/C}$ y es paralelo al lado $BC$, dirigido de $C$ hacia $B$.

$\textbf{b) El potencial eléctrico en el punto } \boldsymbol{D}\textbf{, equidistante de los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{ del triángulo (marcado con un aspa en la figura). [0,75 puntos]}$

El punto $D$ es el punto medio del lado $AC$, así que dista de $C$ media longitud del lado:

$r_{CD}=\dfrac{0{,}5}{2}=0{,}25\ \text{m}$

El segmento $BD$ es la mediana del triángulo equilátero, que coincide con su altura:

$r_{BD}=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot0{,}5=0{,}433\ \text{m}$

El potencial es escalar, así que se suman los de las dos cargas con su signo:

$V_D=K\dfrac{q_1}{r_{BD}}+K\dfrac{q_2}{r_{CD}}=9\cdot10^{9}\left(\dfrac{-5\cdot10^{-6}}{0{,}433}+\dfrac{5\cdot10^{-6}}{0{,}25}\right)$

$V_D=7{,}61\cdot10^{4}\ \text{V}$

$\textbf{c) El trabajo realizado por el campo eléctrico al mover una tercera carga, } \boldsymbol{q_3 = +10\ \text{nC}}\textbf{, desde el punto } \boldsymbol{D}\textbf{ hasta un punto infinitamente alejado de la distribución de cargas. ¿Qué significa el signo del trabajo? [0,75 puntos]}$

El campo eléctrico es conservativo, de modo que el trabajo se calcula con la diferencia de potencial:

$W=q_3\left(V_D-V_\infty\right)$

El potencial en el infinito es nulo, y la carga hay que expresarla en culombios:

$q_3=10\ \text{nC}=10^{-8}\ \text{C}$

$W=10^{-8}\cdot\left(7{,}61\cdot10^{4}-0\right)$

$W=7{,}61\cdot10^{-4}\ \text{J}$

El trabajo es positivo, lo que significa que el desplazamiento se produce espontáneamente: el campo empuja a la carga positiva desde $D$ hacia el infinito, porque $D$ está más cerca de la carga positiva que de la negativa y su potencial es mayor que el del infinito.