Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Un satélite de 1200 kg de masa describe una órbita circular a una distancia de 2638 km de la superficie de la Tierra. Calcule:

a) El periodo y la velocidad orbital del satélite. [1 punto]

b) La energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía total del satélite. [1 punto]

c) La relación de la aceleración de la gravedad a esa altura con la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. [0,5 puntos]

Datos: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T = 6\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; radio de la Tierra, $R_T = 6370\ \text{km}$.

$\textbf{a) El periodo y la velocidad orbital del satélite. [1 punto]}$










La única fuerza sobre el satélite es la atracción gravitatoria terrestre, que en una órbita circular hace de fuerza centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}$





El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra, así que hay que sumar el radio terrestre a la altura:

$r=R_T+h=6370+2638=9008\ \text{km}=9{,}008\cdot10^{6}\ \text{m}$

$v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{9{,}008\cdot10^{6}}}=6{,}67\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

El periodo se obtiene del movimiento circular uniforme:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\cdot9{,}008\cdot10^{6}}{6{,}67\cdot10^{3}}$

$T=8{,}49\cdot10^{3}\ \text{s}$

El satélite tarda unos $8{,}49\cdot10^{3}\ \text{s}$, es decir, unas $2{,}36$ horas, en dar una vuelta completa, y lo hace a $6{,}67\ \text{km/s}$.

$\textbf{b) La energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía total del satélite. [1 punto]}$

Con la velocidad orbital ya conocida:

$E_c=\dfrac12\,m\,v^2=\dfrac12\cdot1200\cdot(6{,}665\cdot10^{3})^2=2{,}67\cdot10^{10}\ \text{J}$

La energía potencial gravitatoria, con el origen en el infinito:

$E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{r}=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot1200}{9{,}008\cdot10^{6}}=-5{,}33\cdot10^{10}\ \text{J}$

Se observa que en una órbita circular la energía potencial es el doble de la cinética y de signo contrario, de modo que la energía total vale:

$E=E_c+E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{2r}=-2{,}67\cdot10^{10}\ \text{J}$

$\textbf{c) La relación de la aceleración de la gravedad a esa altura con la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. [0,5 puntos]}$

La aceleración de la gravedad es el módulo del campo gravitatorio, que solo depende de la distancia al centro del planeta:

$g=G\dfrac{M_T}{r^2}$

Haciendo el cociente entre el valor en la órbita y el valor en la superficie se simplifican la constante y la masa:

$\dfrac{g_h}{g_0}=\dfrac{G\,M_T/r^2}{G\,M_T/R_T^2}=\left(\dfrac{R_T}{r}\right)^2=\left(\dfrac{6370}{9008}\right)^2$

$\dfrac{g_h}{g_0}=0{,}50$

Los valores concretos son:

$g_0=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{(6{,}37\cdot10^{6})^2}=9{,}86\ \text{m/s}^2$

$g_h=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{(9{,}008\cdot10^{6})^2}=4{,}93\ \text{m/s}^2$

A esa altura la gravedad es la mitad que en la superficie terrestre.