Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Dos masas puntuales iguales, $m_1 = m_2 = 20\ \text{kg}$, están situadas en los puntos $(\sqrt{3},0)\ \text{m}$ y $(-\sqrt{3},0)\ \text{m}$ respectivamente.

a) Halle el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio creado por ambas masas en el punto $P(0,1)\ \text{m}$. [1 punto]

b) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio creado por $m_1$ y $m_2$, para mover una tercera masa $m_3 = 5\ \text{kg}$, del punto $P$ al punto $Q(0,2)\ \text{m}$. [1 punto]

c) Razone brevemente el significado físico del signo del trabajo obtenido en el apartado b). [0,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Halle el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio creado por ambas masas en el punto } \boldsymbol{P(0,1)\ \text{m}}\textbf{. [1 punto]}$



El campo gravitatorio creado por una masa puntual se dirige siempre hacia ella y vale:

$\vec g=-G\dfrac{m}{r^2}\,\vec u_r$

Se calcula primero la distancia de cada masa al punto $P$, que por simetría es la misma:

$r=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt{4}=2\ \text{m}$

El módulo de cada uno de los dos campos es, por tanto, el mismo:

$g_1=g_2=G\dfrac{m}{r^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{20}{2^2}=3{,}34\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}$

El vector unitario que va de $m_1$ a $P$ es:

$\vec u_{r_1}=\dfrac{(0,1)-(\sqrt3,0)}{2}=\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)$

y el que va de $m_2$ a $P$, su simétrico:

$\vec u_{r_2}=\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)$

Aplicando el principio de superposición, las componentes horizontales se cancelan por simetría y solo sobrevive la vertical:

$\vec g_P=\vec g_1+\vec g_2=-2\,g_1\cdot\dfrac12\,\vec\jmath=-g_1\,\vec\jmath$

$\vec g_P=-3{,}34\cdot10^{-10}\,\vec\jmath\ \text{N/kg}$

El potencial es una magnitud escalar y se suman directamente los de cada masa:

$V_P=-G\dfrac{m_1}{r}-G\dfrac{m_2}{r}=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{2\cdot20}{2}$

$V_P=-1{,}33\cdot10^{-9}\ \text{J/kg}$

$\textbf{b) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio creado por } \boldsymbol{m_1}\textbf{ y } \boldsymbol{m_2}\textbf{, para mover una tercera masa } \boldsymbol{m_3 = 5\ \text{kg}}\textbf{, del punto } \boldsymbol{P}\textbf{ al punto } \boldsymbol{Q(0,2)\ \text{m}}\textbf{. [1 punto]}$

Por ser el campo gravitatorio conservativo, el trabajo se obtiene de la diferencia de potenciales entre los dos puntos, sin necesidad de conocer el camino:

$W=m_3\left(V_P-V_Q\right)$

Se necesita el potencial en $Q$, que está a la misma distancia de las dos masas:

$r'=\sqrt{(\sqrt3)^2+2^2}=\sqrt7=2{,}65\ \text{m}$

$V_Q=-G\dfrac{2m}{r'}=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{40}{2{,}65}=-1{,}01\cdot10^{-9}\ \text{J/kg}$

Sustituyendo:

$W=5\left(-1{,}334\cdot10^{-9}+1{,}008\cdot10^{-9}\right)$

$W=-1{,}63\cdot10^{-9}\ \text{J}$

$\textbf{c) Razone brevemente el significado físico del signo del trabajo obtenido en el apartado b). [0,5 puntos]}$

El trabajo del campo es negativo porque el punto $Q$ está más lejos de las masas que el punto $P$, y el campo gravitatorio, que es siempre atractivo, se opone a ese alejamiento.

Un trabajo negativo del campo indica que el desplazamiento no es espontáneo: para llevar la masa de $P$ a $Q$ hay que aportar desde fuera una energía de $1{,}63\cdot10^{-9}\ \text{J}$, que queda almacenada como aumento de la energía potencial del sistema.