Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2024

Al cabo de 150 días, la actividad radiactiva de una muestra de $10^{20}$ átomos de cierto elemento ha descendido un 40 %.

a) ¿Cuál es la constante de desintegración? [0,75 puntos]

b) ¿Cuál es el periodo de semidesintegración? [0,75 puntos]

c) ¿Cuál será la actividad de la muestra y cuántos átomos del elemento quedarán al cabo de los 150 días? [1 punto]

$\textbf{a) ¿Cuál es la constante de desintegración? [0,75 puntos]}$










La desintegración radiactiva sigue una ley exponencial, tanto para el número de núcleos como para la actividad, que es proporcional a él:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}\qquad A=A_0\,e^{-\lambda t}$





Que la actividad haya descendido un 40 % significa que queda el 60 % de la inicial:

$A=0{,}6\,A_0$

Se sustituye en la ley de desintegración y se toman logaritmos neperianos:

$0{,}6\,A_0=A_0\,e^{-\lambda\cdot150}\Rightarrow \ln 0{,}6=-150\,\lambda$

$\lambda=-\dfrac{\ln 0{,}6}{150}=3{,}41\cdot10^{-3}\ \text{días}^{-1}$

Conviene expresarla también en unidades del Sistema Internacional, porque hará falta para la actividad:

$\lambda=\dfrac{3{,}41\cdot10^{-3}}{24\cdot3600}=3{,}94\cdot10^{-8}\ \text{s}^{-1}$

$\textbf{b) ¿Cuál es el periodo de semidesintegración? [0,75 puntos]}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que ha de transcurrir para que se desintegre la mitad de los núcleos de la muestra:

$\dfrac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}}\Rightarrow T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$

$T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{3{,}41\cdot10^{-3}}$

$T_{1/2}=204\ \text{días}$

$\textbf{c) ¿Cuál será la actividad de la muestra y cuántos átomos del elemento quedarán al cabo de los 150 días? [1 punto]}$

El número de núcleos sin desintegrar disminuye en la misma proporción que la actividad, ya que ambas magnitudes son proporcionales:

$N=0{,}6\,N_0=0{,}6\cdot10^{20}$

$N=6\cdot10^{19}\ \text{átomos}$

La actividad es el producto de la constante de desintegración, en $\text{s}^{-1}$, por el número de núcleos presentes:

$A=\lambda\,N=3{,}94\cdot10^{-8}\cdot6\cdot10^{19}$

$A=2{,}36\cdot10^{12}\ \text{Bq}$

A los 150 días quedan $6\cdot10^{19}$ átomos sin desintegrar y la muestra tiene una actividad de $2{,}36\cdot10^{12}\ \text{Bq}$.