Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cantabria · 2024

Cuando se incide sobre un material con luz de 520 nm se liberan electrones con un potencial de frenado de 0,5 V. Calcule:

a) El trabajo de extracción. [0,75 puntos]

b) La máxima longitud de onda que puede provocar efecto fotoeléctrico. [0,75 puntos]

c) La energía cinética máxima de los electrones al incidir con longitud de onda de $\lambda = 280\ \text{nm}$. [1 punto]

Datos: constante de Planck, $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}/\text{s}$; carga del electrón, $q_e = -1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) El trabajo de extracción. [0,75 puntos]}$



Según la explicación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón incidente se reparte entre el trabajo de extracción, que es la energía mínima para arrancar el electrón, y la energía cinética con la que sale:

$h\,f=W_0+E_{c,\max}$

La energía del fotón incidente se calcula a partir de su longitud de onda:

$E=h\,f=h\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{520\cdot10^{-9}}=3{,}83\cdot10^{-19}\ \text{J}$

El potencial de frenado es el voltaje que hay que aplicar para detener a los electrones más rápidos, de manera que su energía cinética máxima es:

$E_{c,\max}=|q_e|\,V_0=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}5=8{,}0\cdot10^{-20}\ \text{J}$

Despejando el trabajo de extracción:

$W_0=E-E_{c,\max}=3{,}83\cdot10^{-19}-0{,}80\cdot10^{-19}$

$W_0=3{,}03\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Expresado en electronvoltios, que es como suele darse:

$W_0=\dfrac{3{,}03\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=1{,}89\ \text{eV}$

$\textbf{b) La máxima longitud de onda que puede provocar efecto fotoeléctrico. [0,75 puntos]}$

La longitud de onda umbral es la del fotón cuya energía es justo el trabajo de extracción: con ella el electrón sale con energía cinética nula, y con longitudes de onda mayores ya no hay emisión.

$W_0=h\dfrac{c}{\lambda_{\max}}\Rightarrow \lambda_{\max}=\dfrac{h\,c}{W_0}$

$\lambda_{\max}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{3{,}03\cdot10^{-19}}$

$\lambda_{\max}=6{,}58\cdot10^{-7}\ \text{m}=658\ \text{nm}$

Solo la luz de longitud de onda menor que $658\ \text{nm}$ arranca electrones de este material.

$\textbf{c) La energía cinética máxima de los electrones al incidir con longitud de onda de } \boldsymbol{\lambda = 280\ \text{nm}}\textbf{. [1 punto]}$

Se calcula primero la energía de los nuevos fotones:

$E'=h\dfrac{c}{\lambda'}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{280\cdot10^{-9}}=7{,}10\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y se vuelve a aplicar la ecuación de Einstein, con el mismo trabajo de extracción, que es una propiedad del metal y no depende de la luz que se use:

$E_{c,\max}=E'-W_0=7{,}10\cdot10^{-19}-3{,}03\cdot10^{-19}$

$E_{c,\max}=4{,}08\cdot10^{-19}\ \text{J}=2{,}55\ \text{eV}$

Con luz de 280 nm los electrones salen con una energía cinética máxima de $4{,}08\cdot10^{-19}\ \text{J}$.