Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cantabria · 2024

Con una lente convergente de distancia focal 15 cm se pretende obtener una imagen de tamaño el doble de un objeto.

a) Calcule las posiciones de objeto e imagen si la imagen es derecha (realice el trazado de rayos correspondiente). [1 punto]

b) Calcule las posiciones de objeto e imagen si la imagen es invertida (realice el trazado de rayos correspondiente). [1 punto]

c) Razone, para los casos a) y b), la naturaleza de la imagen obtenida (real/virtual). [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule las posiciones de objeto e imagen si la imagen es derecha (realice el trazado de rayos correspondiente). [1 punto]}$

Se trabaja con el criterio de signos habitual: el origen en el centro óptico, la luz viajando de izquierda a derecha y las distancias medidas desde la lente. Las dos ecuaciones que se necesitan son la de las lentes delgadas y la del aumento lateral:

$\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}\qquad \beta=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{s'}{s}$

Que la imagen sea derecha y de tamaño doble significa que el aumento lateral es positivo:

$\beta=+2\Rightarrow s'=2s$

Se sustituye en la ecuación de las lentes:

$\dfrac{1}{2s}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{15}\Rightarrow -\dfrac{1}{2s}=\dfrac{1}{15}$

$s=-7{,}5\ \text{cm}\qquad s'=2s=-15\ \text{cm}$

El objeto debe colocarse a $7{,}5\ \text{cm}$ a la izquierda de la lente, y la imagen se forma a $15\ \text{cm}$ también a la izquierda, es decir, en el mismo lado que el objeto.



En el trazado de rayos se ve que el objeto está entre el foco objeto y la lente: los rayos emergentes salen divergentes y solo se cortan sus prolongaciones, que es lo que forma una imagen derecha y mayor.

$\textbf{b) Calcule las posiciones de objeto e imagen si la imagen es invertida (realice el trazado de rayos correspondiente). [1 punto]}$

Que la imagen sea invertida y de tamaño doble significa que el aumento lateral es negativo:

$\beta=-2\Rightarrow s'=-2s$

$\dfrac{1}{-2s}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{15}\Rightarrow -\dfrac{3}{2s}=\dfrac{1}{15}$

$s=-22{,}5\ \text{cm}\qquad s'=-2s=45\ \text{cm}$

El objeto debe colocarse a $22{,}5\ \text{cm}$ a la izquierda de la lente y la imagen se forma a $45\ \text{cm}$ a la derecha.



Ahora el objeto está entre el foco objeto y el doble de la distancia focal, de modo que los rayos emergentes convergen de verdad y se cortan al otro lado de la lente.

$\textbf{c) Razone, para los casos a) y b), la naturaleza de la imagen obtenida (real/virtual). [0,5 puntos]}$

Una imagen es real cuando se forma por el corte de los rayos refractados y se puede recoger en una pantalla, y es virtual cuando lo que se cortan son las prolongaciones de esos rayos, de modo que solo se ve mirando a través de la lente. Con el criterio de signos empleado, la imagen es real si $s'>0$ y virtual si $s'<0$.

En el apartado a) resulta $s'=-15\ \text{cm}<0$, así que la imagen es virtual, derecha y de tamaño doble. Es el funcionamiento de la lupa.

En el apartado b) resulta $s'=45\ \text{cm}>0$, así que la imagen es real, invertida y de tamaño doble, y podría recogerse sobre una pantalla situada a 45 cm de la lente.