Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cantabria · 2024

Una lámina de vidrio (índice de refracción $n_v$) se encuentra entre un líquido (índice de refracción $n_l$) y aire (índice de refracción $n_a$). La longitud de onda de la luz en el vidrio es dos tercios de la longitud de onda de la luz en el aire. Al emitir luz desde el líquido, los rayos con ángulos de incidencia superiores a 36° en la cara inferior de la lámina no se refractan al aire por su cara superior (ver figura).

a) Calcule el índice de refracción del vidrio $n_v$. [0,75 puntos]

b) Calcule el índice de refracción del líquido $n_l$. [0,75 puntos]

c) Calcule el tiempo que emplea un rayo, incidiendo normalmente sobre el líquido (ángulo respecto a la normal de 0°), en recorrer la distancia $d$ indicada en la figura. [1 punto]

Datos: índice de refracción del aire, $n_a = 1$; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}/\text{s}$.

$\textbf{a) Calcule el índice de refracción del vidrio } \boldsymbol{n_v}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Al pasar de un medio a otro la frecuencia de la luz no cambia, pero sí lo hacen su velocidad y su longitud de onda. Como el índice de refracción es el cociente entre la velocidad en el vacío y la velocidad en el medio:

$n=\dfrac{c}{v}=\dfrac{c}{\lambda f}\Rightarrow n\,\lambda=\dfrac{c}{f}=\text{constante}$

Aplicando esa relación al aire y al vidrio:

$n_a\lambda_a=n_v\lambda_v$

El enunciado dice que la longitud de onda en el vidrio es dos tercios de la del aire:

$\lambda_v=\dfrac23\lambda_a$

$n_v=n_a\dfrac{\lambda_a}{\lambda_v}=1\cdot\dfrac{\lambda_a}{\frac23\lambda_a}=\dfrac32$

$n_v=1{,}5$

$\textbf{b) Calcule el índice de refracción del líquido } \boldsymbol{n_l}\textbf{. [0,75 puntos]}$










Los rayos que inciden con más de $36^\circ$ ya no salen al aire, así que $36^\circ$ es justamente el ángulo de incidencia límite: el que hace que el rayo emerja rasante a la cara superior, con un ángulo de refracción en el aire de $90^\circ$.





Se aplica la ley de Snell en las dos interfases. En la cara inferior, entre el líquido y el vidrio:

$n_l\sin36^\circ=n_v\sin\hat r$

Y en la cara superior, entre el vidrio y el aire, donde el ángulo de incidencia es el mismo $\hat r$ por ser las caras paralelas:

$n_v\sin\hat r=n_a\sin90^\circ$

Encadenando las dos igualdades se elimina el vidrio, que actúa solo de intermediario:

$n_l\sin36^\circ=n_a\sin90^\circ=1$

$n_l=\dfrac{1}{\sin36^\circ}=1{,}70$

El índice de refracción del líquido vale $n_l=1{,}70$.

$\textbf{c) Calcule el tiempo que emplea un rayo, incidiendo normalmente sobre el líquido (ángulo respecto a la normal de 0°), en recorrer la distancia } \boldsymbol{d}\textbf{ indicada en la figura. [1 punto]}$

Si el rayo incide perpendicularmente a las caras no se desvía, y recorre en línea recta 1 cm de líquido y 1 cm de vidrio.

La velocidad de la luz en cada medio se obtiene de su índice de refracción:

$v_l=\dfrac{c}{n_l}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}70}=1{,}76\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

$v_v=\dfrac{c}{n_v}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}5}=2\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

Como dentro de cada medio el movimiento es rectilíneo y uniforme, el tiempo total es la suma de los dos tramos:

$t=\dfrac{e_l}{v_l}+\dfrac{e_v}{v_v}=\dfrac{0{,}01}{1{,}76\cdot10^{8}}+\dfrac{0{,}01}{2\cdot10^{8}}$

$t=5{,}67\cdot10^{-11}+5{,}00\cdot10^{-11}$

$t=1{,}07\cdot10^{-10}\ \text{s}$

El rayo tarda $1{,}07\cdot10^{-10}\ \text{s}$, es decir, unos $0{,}107\ \text{ns}$, en atravesar los 2 cm de la lámina.