Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2024

Un observador se encuentra a 10 m de distancia de un altavoz que tiene una potencia de 200 W.

a) Calcule la intensidad sonora en ese punto. [1 punto]

b) ¿A qué distancia del altavoz debe situarse el observador para que el nivel de intensidad sonora sea de 80 dB? [0,75 puntos]

c) Calcule el factor por el que debe disminuirse la potencia del altavoz, para que a esos 10 m de distancia el sonido se perciba con un nivel de intensidad sonora de 80 dB. [0,75 puntos]

Dato: la mínima intensidad que puede percibir el oído humano es $I_0 = 10^{-12}\ \text{W}/\text{m}^2$.

$\textbf{a) Calcule la intensidad sonora en ese punto. [1 punto]}$










El altavoz se comporta como un foco puntual que emite por igual en todas las direcciones, así que la potencia se reparte por la superficie de una esfera de radio $r$:

$I=\dfrac{P}{4\pi r^2}$

La intensidad disminuye con el cuadrado de la distancia al foco.





Sustituyendo los datos del enunciado:

$I=\dfrac{200}{4\pi\cdot10^2}$

$I=0{,}159\ \text{W/m}^2$

A 10 m del altavoz la intensidad sonora vale $0{,}159\ \text{W/m}^2$.

$\textbf{b) ¿A qué distancia del altavoz debe situarse el observador para que el nivel de intensidad sonora sea de 80 dB? [0,75 puntos]}$

El nivel de intensidad sonora se define a partir del umbral de audición mediante una escala logarítmica:

$\beta=10\log\dfrac{I}{I_0}$

Se despeja la intensidad que corresponde a 80 dB:

$I'=I_0\cdot10^{\beta/10}=10^{-12}\cdot10^{8}=10^{-4}\ \text{W/m}^2$

Y de la ley del cuadrado inverso se obtiene la distancia:

$I'=\dfrac{P}{4\pi r'^2}\Rightarrow r'=\sqrt{\dfrac{P}{4\pi I'}}=\sqrt{\dfrac{200}{4\pi\cdot10^{-4}}}$

$r'=399\ \text{m}$

El observador debe alejarse hasta unos $399\ \text{m}$ del altavoz.

$\textbf{c) Calcule el factor por el que debe disminuirse la potencia del altavoz, para que a esos 10 m de distancia el sonido se perciba con un nivel de intensidad sonora de 80 dB. [0,75 puntos]}$

Ahora la distancia vuelve a ser de 10 m y lo que cambia es la potencia. La intensidad que hay que conseguir es la misma del apartado anterior:

$I'=10^{-4}\ \text{W/m}^2$

$P'=I'\cdot4\pi r^2=10^{-4}\cdot4\pi\cdot10^2=0{,}126\ \text{W}$

El factor pedido es el cociente entre la potencia inicial y la nueva:

$\dfrac{P}{P'}=\dfrac{200}{0{,}126}=1{,}59\cdot10^{3}$

Como la intensidad es proporcional a la potencia, ese factor coincide con el cociente de intensidades:

$\dfrac{I}{I'}=\dfrac{0{,}159}{10^{-4}}=1{,}59\cdot10^{3}$

Hay que reducir la potencia del altavoz en un factor de aproximadamente $1{,}59\cdot10^{3}$, es decir, dejarla en unos $0{,}126\ \text{W}$.