Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2024

Una onda armónica transversal viaja por una cuerda hacia la parte negativa del eje $x$. Dos elementos de la cuerda $A$ y $B$, ubicados en las posiciones $x_A = 0\ \text{m}$ y $x_B = 0{,}6\ \text{m}$ respectivamente, oscilan en fase y cortan al eje $x$ cada 0,06 s. Ningún otro elemento entre $A$ y $B$ oscila en fase con ellos. Inicialmente, los puntos $A$ y $B$ tienen una elongación de $+0{,}005\ \text{m}$ y velocidad nula.

a) Escriba la expresión matemática de la onda. [1 punto]

b) Calcule la velocidad de propagación de la onda. [0,75 puntos]

c) Determine la velocidad transversal del punto de la onda situado en $x = 0{,}3\ \text{m}$, en función del tiempo. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Escriba la expresión matemática de la onda. [1 punto]}$



Se van obteniendo uno a uno los parámetros de la onda a partir de los datos del enunciado.

Los puntos $A$ y $B$ oscilan en fase y ningún punto intermedio lo hace, luego su separación es exactamente una longitud de onda:

$\lambda=x_B-x_A=0{,}6-0=0{,}6\ \text{m}$

Un punto de la cuerda corta al eje $x$ dos veces en cada oscilación completa, de manera que el tiempo entre dos cortes consecutivos es medio periodo:

$\dfrac{T}{2}=0{,}06\ \text{s}\Rightarrow T=0{,}12\ \text{s}$

$f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0{,}12}=8{,}33\ \text{Hz}$

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{0{,}12}=52{,}36\ \text{rad/s}$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{0{,}6}=10{,}47\ \text{rad/m}$

Inicialmente los puntos $A$ y $B$ tienen velocidad nula, así que en ese instante están en un extremo de su oscilación y su elongación es la amplitud:

$A=0{,}005\ \text{m}$

La onda viaja hacia la parte negativa del eje $x$, de modo que los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo:

$y(x,t)=A\cos(\omega t+kx+\varphi_0)$

Se impone la condición inicial en $x=0$, donde la elongación es máxima y positiva:

$y(0,0)=A\cos\varphi_0=A\Rightarrow \varphi_0=0\ \text{rad}$

La expresión matemática de la onda, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t)=0{,}005\cos\left(52{,}36\,t+10{,}47\,x\right)\ \text{m}$

$\textbf{b) Calcule la velocidad de propagación de la onda. [0,75 puntos]}$

La velocidad de propagación de una onda armónica es el cociente entre la longitud de onda y el periodo:

$v=\dfrac{\lambda}{T}=\lambda f=\dfrac{0{,}6}{0{,}12}$

$v=5\ \text{m/s}$

La onda avanza a $5\ \text{m/s}$ en el sentido negativo del eje $x$.

$\textbf{c) Determine la velocidad transversal del punto de la onda situado en } \boldsymbol{x = 0{,}3\ \text{m}}\textbf{, en función del tiempo. [0,75 puntos]}$

La velocidad transversal es la derivada de la elongación respecto del tiempo, con la posición fija:

$v_y(x,t)=\dfrac{\partial y}{\partial t}=-A\,\omega\sin(\omega t+kx)$

$v_y(x,t)=-0{,}005\cdot52{,}36\,\sin\left(52{,}36\,t+10{,}47\,x\right)$

Se sustituye la posición del punto pedido:

$v_y(0{,}3\ ;\ t)=-0{,}262\,\sin\left(52{,}36\,t+10{,}47\cdot0{,}3\right)=-0{,}262\,\sin\left(52{,}36\,t+\pi\right)$

Y como $\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha$, queda:

$v_y(0{,}3\ ;\ t)=0{,}262\,\sin\left(52{,}36\,t\right)\ \text{m/s}$

Ese punto oscila con una velocidad transversal máxima de $0{,}262\ \text{m/s}$, en oposición de fase con el punto $A$, como corresponde a dos puntos separados media longitud de onda.