Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Una sonda espacial de 1500 kg describe una trayectoria circular orbitando alrededor de Saturno, realizando una revolución cada 32 horas. Calcule:

a) La velocidad orbital de la sonda y el radio de la órbita de la sonda alrededor del planeta. [1 punto]

b) La energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía total de la sonda. [1 punto]

c) La energía mínima que habría que suministrar a la sonda para que abandone el campo gravitatorio de Saturno. [0,5 puntos]

Datos: masa de Saturno, $M_S = 5{,}68\cdot 10^{26}\ \text{kg}$; constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) La velocidad orbital de la sonda y el radio de la órbita de la sonda alrededor del planeta. [1 punto]}$










La única fuerza que actúa sobre la sonda es la atracción gravitatoria de Saturno, y como la órbita es circular, esa fuerza es la fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M_S\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{G\,M_S}{r}}$





Se escribe la velocidad en función del periodo, ya que el movimiento es circular y uniforme:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}$

Igualando ambas expresiones se llega a la tercera ley de Kepler, que permite despejar el radio:

$\dfrac{4\pi^2r^2}{T^2}=\dfrac{G\,M_S}{r}\Rightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{G\,M_S\,T^2}{4\pi^2}}$

Se pasa el periodo a segundos:

$T=32\ \text{h}\cdot3600\ \dfrac{\text{s}}{\text{h}}=1{,}152\cdot10^{5}\ \text{s}$

$r=\sqrt[3]{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}68\cdot10^{26}\cdot(1{,}152\cdot10^{5})^2}{4\pi^2}}=2{,}34\cdot10^{8}\ \text{m}$

Y con ese radio, la velocidad orbital:

$v=\dfrac{2\pi\cdot2{,}34\cdot10^{8}}{1{,}152\cdot10^{5}}=1{,}27\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

La sonda describe una órbita de $2{,}34\cdot10^{8}\ \text{m}$ de radio a $12{,}7\ \text{km/s}$.

$\textbf{b) La energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía total de la sonda. [1 punto]}$

La energía cinética se obtiene directamente de la velocidad orbital:

$E_c=\dfrac12\,m\,v^2=\dfrac12\cdot1500\cdot(1{,}274\cdot10^{4})^2=1{,}22\cdot10^{11}\ \text{J}$

La energía potencial gravitatoria, tomando el origen en el infinito:

$E_p=-G\dfrac{M_S\,m}{r}=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}68\cdot10^{26}\cdot1500}{2{,}34\cdot10^{8}}=-2{,}43\cdot10^{11}\ \text{J}$

La energía total es la suma de las dos, y en una órbita circular resulta ser la mitad de la potencial:

$E=E_c+E_p=-G\dfrac{M_S\,m}{2r}=1{,}22\cdot10^{11}-2{,}43\cdot10^{11}=-1{,}22\cdot10^{11}\ \text{J}$

La energía total es negativa, como corresponde a un cuerpo ligado al campo gravitatorio del planeta.

$\textbf{c) La energía mínima que habría que suministrar a la sonda para que abandone el campo gravitatorio de Saturno. [0,5 puntos]}$

Escapar del campo significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía total cero:

$E_{\text{final}}=E_c(\infty)+E_p(\infty)=0\ \text{J}$

La energía que hay que aportar es la diferencia entre ese estado final y el actual:

$\Delta E=E_{\text{final}}-E=0-(-1{,}22\cdot10^{11})$

$\Delta E=1{,}22\cdot10^{11}\ \text{J}$

Hay que suministrarle como mínimo $1{,}22\cdot10^{11}\ \text{J}$, que es el valor absoluto de su energía total en la órbita, la llamada energía de ligadura.