Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Dos masas $m_1 = 25\ \text{kg}$ y $m_2 = 50\ \text{kg}$ están situadas en los puntos $(1,1)\ \text{m}$ y $(-1,0)\ \text{m}$ respectivamente.

a) Calcule y represente gráficamente el vector fuerza gravitatoria debido a las masas $m_1$ y $m_2$, que experimenta una masa $m_3 = 500\ \text{g}$ situada en el punto $(1,0)\ \text{m}$. [1 punto]

b) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio creado por $m_1$ y $m_2$, cuando $m_3$ se desplaza del punto $(1,0)\ \text{m}$ a otra posición muy alejada de $m_1$ y $m_2$. [1 punto]

c) Razone brevemente el significado físico del signo del trabajo obtenido en el apartado b). [0,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule y represente gráficamente el vector fuerza gravitatoria debido a las masas } \boldsymbol{m_1}\textbf{ y } \boldsymbol{m_2}\textbf{, que experimenta una masa } \boldsymbol{m_3 = 500\ \text{g}}\textbf{ situada en el punto } \boldsymbol{(1,0)\ \text{m}}\textbf{. [1 punto]}$










Por la ley de gravitación universal de Newton, cada masa atrae a $m_3$ con una fuerza dirigida hacia ella:

$\vec F=-G\dfrac{M\,m_3}{r^2}\,\vec u_r$

donde $\vec u_r$ es el vector unitario que va de la masa que crea la fuerza hasta $m_3$.





Se expresa primero la masa en unidades del Sistema Internacional:

$m_3=500\ \text{g}=0{,}5\ \text{kg}$

Fuerza que ejerce $m_1$. El vector que va de $m_3$ a $m_1$ es:

$\overrightarrow{r_1}=(1,1)-(1,0)=(0,1)\ \text{m}\Rightarrow r_1=1\ \text{m}$

$\vec F_1=G\dfrac{m_1m_3}{r_1^2}\,\vec\jmath=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{25\cdot0{,}5}{1^2}\,\vec\jmath=8{,}34\cdot10^{-10}\,\vec\jmath\ \text{N}$

Fuerza que ejerce $m_2$. El vector que va de $m_3$ a $m_2$ es:

$\overrightarrow{r_2}=(-1,0)-(1,0)=(-2,0)\ \text{m}\Rightarrow r_2=2\ \text{m}$

$\vec F_2=-G\dfrac{m_2m_3}{r_2^2}\,\vec\imath=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{50\cdot0{,}5}{2^2}\,\vec\imath=-4{,}17\cdot10^{-10}\,\vec\imath\ \text{N}$

Por el principio de superposición, la fuerza total es la suma vectorial de las dos:

$\vec F=\vec F_1+\vec F_2=\left(-4{,}17\,\vec\imath+8{,}34\,\vec\jmath\right)\cdot10^{-10}\ \text{N}$

Su módulo vale:

$F=\sqrt{(4{,}17)^2+(8{,}34)^2}\cdot10^{-10}=9{,}32\cdot10^{-10}\ \text{N}$

y forma con el semieje $x$ positivo un ángulo de:

$\alpha=\arctan\dfrac{8{,}34}{-4{,}17}=116{,}6^\circ$

La masa $m_3$ es atraída hacia arriba por $m_1$ y hacia la izquierda por $m_2$, y la resultante es la diagonal del paralelogramo que forman ambas, tal y como muestra la figura.

$\textbf{b) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio creado por } \boldsymbol{m_1}\textbf{ y } \boldsymbol{m_2}\textbf{, cuando } \boldsymbol{m_3}\textbf{ se desplaza del punto } \boldsymbol{(1,0)\ \text{m}}\textbf{ a otra posición muy alejada de } \boldsymbol{m_1}\textbf{ y } \boldsymbol{m_2}\textbf{. [1 punto]}$

El campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo que realiza no depende del camino y es igual a la disminución de la energía potencial:

$W=-\Delta E_p=E_p(\text{inicial})-E_p(\text{final})$

La energía potencial de $m_3$ en el punto $(1,0)\ \text{m}$ es la suma de la que le corresponde con cada masa:

$E_p(\text{inicial})=-G\dfrac{m_1m_3}{r_1}-G\dfrac{m_2m_3}{r_2}=-G\,m_3\left(\dfrac{m_1}{r_1}+\dfrac{m_2}{r_2}\right)$

$E_p(\text{inicial})=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot0{,}5\left(\dfrac{25}{1}+\dfrac{50}{2}\right)=-1{,}67\cdot10^{-9}\ \text{J}$

Muy lejos de ambas masas la distancia tiende a infinito y la energía potencial se anula, que es el origen de potenciales que se ha tomado:

$E_p(\text{final})=0\ \text{J}$

Por tanto:

$W=-1{,}67\cdot10^{-9}-0=-1{,}67\cdot10^{-9}\ \text{J}$

El trabajo que realiza el campo gravitatorio en ese desplazamiento es de $-1{,}67\cdot10^{-9}\ \text{J}$.

$\textbf{c) Razone brevemente el significado físico del signo del trabajo obtenido en el apartado b). [0,5 puntos]}$

El trabajo sale negativo porque la fuerza gravitatoria es siempre atractiva y el desplazamiento aleja a $m_3$ de las masas que la atraen: fuerza y desplazamiento forman un ángulo mayor de $90^\circ$ y el campo se opone al movimiento.

Dicho de otro modo, ese desplazamiento no es espontáneo. Para llevar $m_3$ hasta el infinito hay que comunicarle desde fuera una energía de al menos $1{,}67\cdot10^{-9}\ \text{J}$, que es justo el valor absoluto del trabajo del campo.