Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2026

Considere la función presentada a continuación,

$f(x) = \dfrac{x^2 + ax + 1}{x + a^2}$

donde $a \in \mathbb{R}$. Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Calcule los valores de $a$ para los que $f(x)$ tiene como asíntota oblicua a la recta $y = x - 6$. [1 punto]

b) Considere $a = -2$, estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]

c) Considere $a = -2$, halle la expresión de la recta tangente a $f(x)$ en $x = -1$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule los valores de }\boldsymbol{a}\textbf{ para los que }\boldsymbol{f(x)}\textbf{ tiene como asíntota oblicua a la recta }\boldsymbol{y = x - 6}\textbf{. [1 punto]}$

En una función racional en la que el grado del numerador supera en una unidad al del denominador, la asíntota oblicua es el cociente de la división entera. Dividimos, pues, y comparamos el cociente con la recta que da el enunciado.

$\dfrac{x^2+ax+1}{x+a^2}=x+\left(a-a^2\right)+\dfrac{a^4-a^3+1}{x+a^2}$

$y=x+\left(a-a^2\right)\ \text{ ha de ser }\ y=x-6\Rightarrow a-a^2=-6$

$a^2-a-6=0\Rightarrow a=\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\dfrac{1\pm5}{2}\Rightarrow a=3,\quad a=-2$

Falta comprobar que el resto no se anula, porque si lo hiciera la función sería la propia recta y no tendría asíntota.

$a=3\Rightarrow a^4-a^3+1=81-27+1=55\neq0$

$a=-2\Rightarrow a^4-a^3+1=16+8+1=25\neq0$

Los valores del parámetro son $a=3$ y $a=-2$; con cualquiera de los dos la recta $y=x-6$ es asíntota oblicua de $f$.

$\textbf{b) Considere }\boldsymbol{a = -2}\textbf{, estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de }\boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

Sustituimos el parámetro y observamos que el numerador es un cuadrado perfecto, lo que simplifica la derivada.

$f(x)=\dfrac{x^2-2x+1}{x+4}=\dfrac{(x-1)^2}{x+4},\qquad \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}-\{-4\}$

Derivamos por la regla del cociente y sacamos factor común $(x-1)$ en el numerador.

$f'(x)=\dfrac{2(x-1)(x+4)-(x-1)^2}{(x+4)^2}=\dfrac{(x-1)\left[2(x+4)-(x-1)\right]}{(x+4)^2}$

$f'(x)=\dfrac{(x-1)(x+9)}{(x+4)^2}$

$(x-1)(x+9)=0\Rightarrow x=1,\quad x=-9$

El denominador es un cuadrado y por tanto positivo en todo el dominio, así que el signo de $f'$ es el de la parábola del numerador. Al estudio hay que añadir $x=-4$, que no anula la derivada pero parte el dominio.



La función crece en $(-\infty,-9)$ y en $(1,+\infty)$, y decrece en $(-9,-4)$ y en $(-4,1)$. Hay un máximo relativo en $x=-9$ y un mínimo relativo en $x=1$; en $x=-4$ no hay extremo, porque el punto no pertenece al dominio.

$\textbf{c) Considere }\boldsymbol{a = -2}\textbf{, halle la expresión de la recta tangente a }\boldsymbol{f(x)}\textbf{ en }\boldsymbol{x = -1}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La recta tangente pasa por el punto de la curva y tiene por pendiente la derivada en él, así que evaluamos las dos expresiones del apartado anterior en $x=-1$.

$f(-1)=\dfrac{(-1-1)^2}{-1+4}=\dfrac{4}{3}$

$f'(-1)=\dfrac{(-1-1)(-1+9)}{(-1+4)^2}=\dfrac{(-2)\cdot8}{9}=-\dfrac{16}{9}$

$y-\dfrac43=-\dfrac{16}{9}(x+1)$

$y=-\dfrac{16}{9}x-\dfrac{16}{9}+\dfrac{12}{9}=-\dfrac{16}{9}x-\dfrac49$

La recta tangente a la curva en $x=-1$ es $y=-\dfrac{16}{9}x-\dfrac49$. La pendiente sale negativa, como corresponde a un punto del tramo decreciente $(-4,1)$.