Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ y + az = 1 \\ ay + z = 2 - a \end{cases}$

dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$. Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Discuta el sistema en función de los valores de $a$. [1,5 puntos]

b) Considere $a = 2$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

c) Considere $a = 1$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema en función de los valores de }\boldsymbol{a}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius. Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y calculamos el determinante de la primera, que se desarrolla cómodamente por la primera columna.

$M=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&1&a\\ 0&a&1\end{pmatrix},\qquad M^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\ 0&1&a&1\\ 0&a&1&2-a\end{array}\right)$

$|M|=1\cdot\begin{vmatrix}1&a\\ a&1\end{vmatrix}=1-a^2$

$1-a^2=0\Rightarrow a=1,\quad a=-1$

Si $a\neq1$ y $a\neq-1$, entonces $|M|\neq0$ y

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

es decir, el sistema es compatible determinado. Estudiamos los dos valores restantes.

Para $a=1$:

$M^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\ 0&1&1&1\\ 0&1&1&1\end{array}\right)$

La segunda y la tercera fila son idénticas, así que sobra una ecuación.

$\begin{vmatrix}1&1\\ 0&1\end{vmatrix}=1\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=2<3$

El sistema es compatible indeterminado.

Para $a=-1$:

$M^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\ 0&1&-1&1\\ 0&-1&1&3\end{array}\right)$

$\begin{vmatrix}1&1\\ 0&1\end{vmatrix}=1\neq0\ \text{ y }\ |M|=0\Rightarrow\operatorname{ran}(M)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&-1&3\end{vmatrix}=1\cdot(3+1)=4\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(M^{*})=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible. Se ve también sumando las dos últimas ecuaciones, que dan $0=4$.

En resumen: el sistema es compatible determinado si $a\neq\pm1$, compatible indeterminado si $a=1$ e incompatible si $a=-1$.

$\textbf{b) Considere }\boldsymbol{a = 2}\textbf{. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]}$

Como $2\neq\pm1$, el sistema es compatible determinado y tiene solución única. Sustituimos:

$\begin{cases}x+y+z=0\\ y+2z=1\\ 2y+z=0\end{cases}$

De la tercera ecuación despejamos $z=-2y$ y lo llevamos a la segunda.

$y+2(-2y)=1\Rightarrow -3y=1\Rightarrow y=-\dfrac13$

$z=-2\left(-\dfrac13\right)=\dfrac23$

$x=-y-z=\dfrac13-\dfrac23=-\dfrac13$

La solución para $a=2$ es única: $(x,y,z)=\left(-\frac13,-\frac13,\frac23\right)$.

$\textbf{c) Considere }\boldsymbol{a = 1}\textbf{. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]}$

Por el apartado a), para $a=1$ el sistema es compatible indeterminado con rango $2$: sobra una ecuación y queda un parámetro libre. Suprimida la tercera, que es igual a la segunda, el sistema es

$\begin{cases}x+y+z=0\\ y+z=1\end{cases}$

Tomamos $z$ como parámetro.

$z=\lambda,\ \lambda\in\mathbb{R}$

$y=1-\lambda$

$x=-y-z=-(1-\lambda)-\lambda=-1$

La solución general para $a=1$ es

$\begin{cases}x=-1\\ y=1-\lambda\\ z=\lambda\end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Obsérvese que la primera coordenada no depende del parámetro: todas las soluciones están en el plano $x=-1$.