Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2025

En una población, el 85 % de las personas son rubias. Además, su altura se distribuye según una distribución normal de media 170 cm y desviación típica de 16 cm. [2,5 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar mida más de 190 cm. [0,5 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar mida entre 160 y 190 cm. [1 punto]

c) Sabiendo que solo el 12 % de las personas rubias de la población mide más de 190 cm, calcule la probabilidad de que, escogiendo a una persona al azar, esta sea rubia y mida más de 190 cm. [1 punto]

Llamamos $X$ a la altura de una persona elegida al azar, que sigue una distribución normal de media $170$ cm y desviación típica $16$ cm, y $R$ al suceso «la persona es rubia». Para usar la tabla de la $N(0,1)$ hay que tipificar.

$X\sim N(170;\,16),\qquad Z=\dfrac{X-170}{16}\sim N(0,1),\qquad P(R)=0{,}85$

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar mida más de 190 cm. [0,5 puntos]}$

Tipificamos el valor $190$ y pasamos a la cola de la derecha, que la tabla no da directamente: se obtiene restando de la unidad.

$z=\dfrac{190-170}{16}=\dfrac{20}{16}=1{,}25$

$P(X>190)=P(Z>1{,}25)=1-P(Z\le1{,}25)=1-0{,}8944=0{,}1056$



La probabilidad de que una persona elegida al azar mida más de $190$ cm es $0{,}1056$, algo más de una de cada diez.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar mida entre 160 y 190 cm. [1 punto]}$

La probabilidad de una franja es la diferencia de las dos probabilidades acumuladas, así que tipificamos también el extremo inferior. La tabla solo recoge valores positivos, de modo que para el negativo usamos la simetría de la campana.

$z_1=\dfrac{160-170}{16}=-0{,}625\approx-0{,}63,\qquad z_2=1{,}25$

$P(Z\le-0{,}63)=1-P(Z\le0{,}63)=1-0{,}7357=0{,}2643$

$P(160<X<190)=P(Z\le1{,}25)-P(Z\le-0{,}63)=0{,}8944-0{,}2643=0{,}6301$



La probabilidad de que una persona elegida al azar mida entre $160$ y $190$ cm es $0{,}6301$, casi dos de cada tres.

$\textbf{c) Sabiendo que solo el 12 \% de las personas rubias de la población mide más de 190 cm, calcule la probabilidad de que, escogiendo a una persona al azar, esta sea rubia y mida más de 190 cm. [1 punto]}$

El dato nuevo es una probabilidad condicionada al hecho de ser rubia, y lo que se pide es la intersección de los dos sucesos, así que basta aplicar la definición de probabilidad condicionada al revés.

$P(X>190\,/\,R)=0{,}12,\qquad P(R)=0{,}85$

$P(R\cap\{X>190\})=P(R)\cdot P(X>190\,/\,R)$

$P(R\cap\{X>190\})=0{,}85\cdot0{,}12=0{,}102$

La probabilidad de que una persona elegida al azar sea rubia y mida más de $190$ cm es $0{,}102$. Obsérvese que $0{,}12\neq0{,}1056$: entre las personas rubias las altas son algo más frecuentes que en el conjunto de la población, de modo que los dos sucesos no son independientes.