Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Considere la recta $r : \begin{cases} x - 2z - 2 = 0 \\ y + z = 3 \end{cases}$ y el punto $P = (-3, 2, 2)$. [2,5 puntos]

a) Exprese la recta $r$ en forma continua. [0,5 puntos]

b) Halle la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$. [1 punto]

c) Calcule la distancia entre $r$ y $P$. [1 punto]

$\textbf{a) Exprese la recta }\boldsymbol{r}\textbf{ en forma continua. [0,5 puntos]}$

La recta viene dada como intersección de dos planos. Para pasarla a forma continua hacen falta un punto y un vector director; el director es el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos.

$\vec n_1=(1,0,-2),\qquad \vec n_2=(0,1,1)$

$\vec v_r=\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 1&0&-2\\ 0&1&1\end{vmatrix}=(2,-1,1)$

Un punto se obtiene dando un valor a una incógnita; con $z=0$ queda $x=2$ e $y=3$.

$A(2,3,0)\in r$

$r:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z}{1}$

Esa es la forma continua de la recta. Cualquier otro punto de $r$ da una expresión equivalente.

$\textbf{b) Halle la ecuación del plano perpendicular a }\boldsymbol{r}\textbf{ que pasa por }\boldsymbol{P}\textbf{. [1 punto]}$

Si el plano es perpendicular a la recta, el director de la recta es un vector normal del plano, y eso ya fija los tres primeros coeficientes de su ecuación general.

$\vec n_{\pi}=\vec v_r=(2,-1,1)\Rightarrow \pi:2x-y+z+D=0$

Imponemos que el punto $P(-3,2,2)$ pertenezca al plano.

$2(-3)-2+2+D=0\Rightarrow -6+D=0\Rightarrow D=6$



El plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$ es $\pi:2x-y+z+6=0$.

$\textbf{c) Calcule la distancia entre }\boldsymbol{r}\textbf{ y }\boldsymbol{P}\textbf{. [1 punto]}$

Como $\pi$ es perpendicular a $r$ y contiene a $P$, el punto $Q$ en el que la recta corta al plano es el pie de la perpendicular trazada desde $P$, y la distancia pedida es $d(P,Q)$. Escribimos la recta en paramétricas y sustituimos en el plano.

$r:\begin{cases}x=2+2\lambda\\ y=3-\lambda\\ z=\lambda\end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

$2(2+2\lambda)-(3-\lambda)+\lambda+6=0\Rightarrow 6\lambda+7=0\Rightarrow \lambda=-\dfrac76$

$Q\left(-\dfrac13,\ \dfrac{25}{6},\ -\dfrac76\right)$

$d(P,r)=d(P,Q)=\sqrt{\left(-3+\dfrac13\right)^2+\left(2-\dfrac{25}{6}\right)^2+\left(2+\dfrac76\right)^2}$

$d(P,r)=\sqrt{\dfrac{64}{9}+\dfrac{169}{36}+\dfrac{361}{36}}=\sqrt{\dfrac{786}{36}}=\dfrac{\sqrt{786}}{6}\approx4{,}673\ \text{u}$

La distancia del punto a la recta es $\frac{\sqrt{786}}{6}$ unidades, unas $4{,}673$. Se llega al mismo valor con la fórmula del producto vectorial, porque $\left|\overrightarrow{AP}\times\vec v_r\right|=\sqrt{131}$ y $\left|\vec v_r\right|=\sqrt6$.