Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Considere las siguientes funciones: $f(x) = x^2 - x$ y $g(x) = 1 - x^2$. [2,5 puntos]

a) Determine los puntos de corte de $g(x)$ con el eje de abscisas OX. [0,5 puntos]

b) Determine los puntos de corte de $f(x)$ con $g(x)$. [0,5 puntos]

c) Calcule el área delimitada por $f(x)$, $g(x)$ y las rectas $x = -1$ y $x = 1$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Determine los puntos de corte de }\boldsymbol{g(x)}\textbf{ con el eje de abscisas OX. [0,5 puntos]}$

Los cortes con el eje OX son las soluciones de $g(x)=0$, con ordenada nula.

$1-x^2=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1$

La parábola $g$ corta al eje de abscisas en los puntos $(-1,0)$ y $(1,0)$.

$\textbf{b) Determine los puntos de corte de }\boldsymbol{f(x)}\textbf{ con }\boldsymbol{g(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Dos curvas se cortan donde toman el mismo valor, así que igualamos las dos expresiones y resolvemos la ecuación de segundo grado.

$x^2-x=1-x^2\Rightarrow 2x^2-x-1=0$

$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\dfrac{1\pm3}{4}\Rightarrow x=1,\quad x=-\dfrac12$

Sustituimos en cualquiera de las dos funciones para obtener las ordenadas.

$f(1)=1-1=0,\qquad f\left(-\dfrac12\right)=\dfrac14+\dfrac12=\dfrac34$

Las dos curvas se cortan en $\left(-\frac12,\frac34\right)$ y en $(1,0)$; este último es además uno de los cortes con el eje OX del apartado anterior.

$\textbf{c) Calcule el área delimitada por }\boldsymbol{f(x)}\textbf{, }\boldsymbol{g(x)}\textbf{ y las rectas }\boldsymbol{x = -1}\textbf{ y }\boldsymbol{x = 1}\textbf{. [1,5 puntos]}$

El corte $x=-\frac12$ cae dentro del intervalo $[-1,1]$, así que las dos curvas se intercambian ahí y el recinto hay que partirlo en dos. Vemos cuál va por encima en cada trozo evaluando en un punto interior.

$x=-\dfrac34:\ f\left(-\dfrac34\right)=\dfrac{21}{16},\quad g\left(-\dfrac34\right)=\dfrac{7}{16}\Rightarrow f>g$

$x=0:\ f(0)=0,\quad g(0)=1\Rightarrow g>f$



En el primer trozo integramos $f-g$ y en el segundo, $g-f$. Una primitiva de la diferencia es

$\int (f-g)\,dx=\int\left(2x^2-x-1\right)dx=\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-x$

Aplicamos la regla de Barrow en $\left[-1,-\frac12\right]$.

$A_1=\left[\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-x\right]_{-1}^{-1/2}=\dfrac{7}{24}-\left(-\dfrac16\right)=\dfrac{11}{24}$

En $\left[-\frac12,1\right]$ el integrando es el opuesto, así que la primitiva también lo es.

$A_2=\left[-\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+x\right]_{-1/2}^{1}=\dfrac56-\left(-\dfrac{7}{24}\right)=\dfrac{27}{24}=\dfrac98$

$A=A_1+A_2=\dfrac{11}{24}+\dfrac{27}{24}=\dfrac{38}{24}=\dfrac{19}{12}\approx1{,}583$

El área del recinto es $\dfrac{19}{12}\ \text{u}^2$, es decir, unas $1{,}583\ \text{u}^2$.